回転体の体積

回転体を $x$ 軸に垂直な平面で切ると、断面は半径 $|f(x)|$ の円です。断面積 $\pi\{f(x)\}^2$ を $a$ から $b$ まで積分すると体積になります。

先に $\{f(x)\}^2$ を展開して被積分関数を作り、$\pi$ は外に出して最後に掛けます。

例題

1. 01$x$ 軸まわりに回した体積は？（$\pi$ の係数）$\displaystyle y=3x, \quad [0,\ 1]$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. 半径が $3x$ なので、断面積は $\pi(3x)^{2}$
   2. $\displaystyle \int_{0}^{1} (3x)^{2}\,dx$$\displaystyle = 3$
   3. 訊かれているのは $\pi$ の係数なので、$\pi$ を外した値が答え
2. 02被積分関数が分かった。この定積分は？$\displaystyle \int_{0}^{1} 4x^{2}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{4}{3}$

   解き方

   1. $x^{2}$ の積分は $\frac{x^{3}}{3}$。上の端 1 を入れる
   2. $\displaystyle \int_{0}^{1} 4x^{2}\,dx$$\displaystyle = \frac{4}{3}$
3. 03$x$ 軸まわりに回した体積の $\pi$ の係数は？$\displaystyle y=3x, \quad [0,\ 3]$答え閉じる

   答え$\displaystyle 81$

   解き方

   1. 半径 $3x$ の円を、0 から 3 まで足し集める
   2. $\displaystyle \int_{0}^{3} (3x)^{2}\,dx$$\displaystyle = 81$
4. 04回転体を x軸に垂直に輪切りにしたとき、断面の形は？$\displaystyle$A$\displaystyle 長方形$B$\displaystyle 円$C$\displaystyle 三角形$D$\displaystyle 楕円$答え閉じる

   答え$\displaystyle 円$

   解き方

   1. 軸に垂直に切ると、切り口は軸を中心とする円。軸から曲線までの距離が半径
   2. 斜めに切れば楕円になるが、体積は軸に垂直に切って足す
5. 05$x$ 軸まわりに回した体積は？（$\pi$ の係数）$\displaystyle y=4x, \quad [0,\ 1]$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{16}{3}$

   解き方

   1. 半径が $4x$ なので、断面積は $\pi(4x)^{2}$
   2. $\displaystyle \int_{0}^{1} (4x)^{2}\,dx$$\displaystyle = \frac{16}{3}$
   3. 訊かれているのは $\pi$ の係数なので、$\pi$ を外した値が答え
6. 06被積分関数が分かった。この定積分は？$\displaystyle \int_{0}^{1} 9x^{2}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. $x^{2}$ の積分は $\frac{x^{3}}{3}$。上の端 1 を入れる
   2. $\displaystyle \int_{0}^{1} 9x^{2}\,dx$$\displaystyle = 3$

よくある質問

Q1なぜ $f(x)$ を2乗する？答え閉じる

A

断面が半径 $|f(x)|$ の円で、円の面積は $\pi\times(\text{半径})^2$ だからです。$f(x)$ が負の区間でも2乗するので、そのまま使えます。

Q22つの曲線の間を回すときは？答え閉じる

A

$x$ 軸から遠いほうを $f(x)$、近いほうを $g(x)$ とし、両方が $x$ 軸の同じ側にあるときは $\pi\int_a^b[\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2]\,dx$ です。$\pi\int_a^b\{f(x)-g(x)\}^2\,dx$ ではありません。