曲線の長さ

$x$ が $dx$ 進むと $y$ は約 $y'\,dx$ 進むので、曲線の小さな部分の長さは $\sqrt{(dx)^2+(y'\,dx)^2}=\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ です。これを足し合わせたものが曲線の長さです。

教科書の問題では、根号の中が 2 乗の形になることがよくあります。$y'=\frac{u-\frac{1}{u}}{2}$ なら $1+(y')^2=\left(\frac{u+\frac{1}{u}}{2}\right)^2$ で、$u>0$ のとき根号を外すと $\frac{u+\frac{1}{u}}{2}$ になります。

例題

1. 01曲線の長さの式。□ に入るのは？$\displaystyle L = \int \sqrt{1+(\square)^{2}}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle y'$
2. 02$1+(y')^2$ は？$\displaystyle y'=\frac{e^{x}-\frac{1}{e^{x}}}{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \left(\frac{e^{x}+\frac{1}{e^{x}}}{2}\right)^{2}$
3. 03$x>0$ のとき $\sqrt{1+(y')^2}$ は？$\displaystyle 1+(y')^{2}=\left(\frac{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}{2}\right)^{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}{2}$
4. 04この定積分の値は？$\displaystyle \int_{1}^{3} \frac{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}{2}\,dx$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{14}{3}$
5. 05曲線の長さを求めるとき、最初にすることは？$\displaystyle$A$\displaystyle y を積分する$B$\displaystyle y' を求める$C$\displaystyle いきなり積分する$D$\displaystyle y'' を求める$答え閉じる

   答え$\displaystyle y' を求める$
6. 06$x>0$ のとき $\sqrt{1+(y')^2}$ は？$\displaystyle 1+(y')^{2}=\left(\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\right)^{2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{x+\frac{1}{x}}{2}$

よくある質問