定積分の置換積分法

置換したら、$x$ の端の値に対応する $t$ の値を求め、それを新しい積分区間にします。

この例では $t=2x+1$ と置くと $dt=2\,dx$ なので $dx=\frac{1}{2}\,dt$、$x=0$ のとき $t=1$、$x=1$ のとき $t=3$ です。区間を取り換えておけば、最後に $x$ の式へ戻す必要はありません。

例題

1. 01x=1 のとき t は？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int_{0}^{1} (2x+2)^{3}dx, \\[6pt] \displaystyle t=2x+2 \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4$

   解き方

   1. 上端の $x$ も、置いた式に入れる
   2. $\displaystyle t$$\displaystyle = 2x+2$$\displaystyle x=1$$\displaystyle \Rightarrow t = 4$
   3. 端を $x$ のままにしないこと。ここを忘れるのがこの原子の罠
2. 02この値は？$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{1}^{3} t^{3}\,dt$答え閉じる

   答え$\displaystyle 10$

   解き方

   1. $t^{3}$ の積分は $\frac{t^{4}}{4}$。上の端から下の端を引いて、前の $\frac{1}{2}$ を掛ける
   2. $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{3^{4}-1^{4}}{4}$$\displaystyle = 10$
   3. 前の $\frac{1}{2}$ を掛け忘れると 20 になる
3. 03□ に入るのは？$\displaystyle t=3x+2 \;\Rightarrow\; dx = \square\,dt$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{3}$

   解き方

   1. $t$ を $x$ で微分する
   2. $\displaystyle t$$\displaystyle = 3x+2$$\displaystyle \frac{dt}{dx}$$\displaystyle = 3$
   3. $dt = 3\,dx$ なので、$dx$ にするには $3$ で割る。だから $\square$ は $\frac{1}{3}$
4. 04x=0 のとき t は？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int_{0}^{2} (3x+2)^{3}dx, \\[6pt] \displaystyle t=3x+2 \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2$

   解き方

   1. 下端の $x$ を、置いた式にそのまま入れる
   2. $\displaystyle t$$\displaystyle = 3x+2$$\displaystyle x=0$$\displaystyle \Rightarrow t = 2$
   3. $x=0$ なので $3x$ の項が消えて、$2$ だけが残る
5. 05定積分の置換で、被積分関数と dx のほかに変えるのは？$\displaystyle$A$\displaystyle 変数の名前だけ$B$\displaystyle 積分区間$C$\displaystyle 積分定数$D$\displaystyle 何も変えなくてよい$答え閉じる

   答え$\displaystyle 積分区間$

   解き方

   1. たとえば $t=2x+1$ と置くと、区間の端も $t$ の値になる
   2. $\displaystyle t$$\displaystyle = 2x+1$$\displaystyle x=0$$\displaystyle \Rightarrow t = 1$$\displaystyle x=2$$\displaystyle \Rightarrow t = 5$
   3. 0 から 2 が 1 から 5 になる。区間を直せば置換を戻さなくてよい
6. 06x=1 のとき t は？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int_{0}^{1} (2x+3)^{3}dx, \\[6pt] \displaystyle t=2x+3 \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 5$

   解き方

   1. 上端の $x$ も、置いた式に入れる
   2. $\displaystyle t$$\displaystyle = 2x+3$$\displaystyle x=1$$\displaystyle \Rightarrow t = 5$
   3. 端を $x$ のままにしないこと。ここを忘れるのがこの原子の罠

よくある質問

Q1置換したあと $x$ に戻してから代入する必要は？答え閉じる

A

ありません。区間を $t$ の値に取り換えていれば、$t$ のまま計算して値が出ます。区間を $x$ のまま使うときに限り、$x$ に戻してから代入します。

Q2新しい区間で下端の方が大きくなったら入れ替える？答え閉じる

A

入れ替えません。$x$ の下端に対応する値を下端、上端に対応する値を上端にそのまま書きます。