数III 積分

区分求積法

区分求積法は、和の極限 lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right) を定積分 ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx で表す方法です。

lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\begin{gathered} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right) \\[4pt] =\int_0^1 f(x)\,dx \end{gathered}

区間 [0, 1][0,\ 1] を nn 等分すると、幅 1n\frac{1}{n}、高さ f ⁣(kn)f\!\left(\frac{k}{n}\right) の長方形が nn 個できます。その面積の和で n→∞n\to\infty とすると、f(x)f(x) が連続なら定積分になります。

lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\begin{gathered} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right) \\[4pt] =\int_0^1 f(x)\,dx \end{gathered}

書き換えるときは、kn\frac{k}{n} を xx、1n\frac{1}{n} を dxdx と読みかえます。1n\frac{1}{n} が前に出ていない式は、まず 1n\frac{1}{n} をくくり出して kn\frac{k}{n} だけの式にします。

例題

  1. 01定積分で表すと？lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{2}答え閉じる
    答え∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx

    解き方

    1. 1n\frac{1}{n} が短冊の幅で dxdx、kn\frac{k}{n} が xx にあたる
    2. kk は 11 から nn まで動くので、kn\frac{k}{n} は 00 から 11 まで。区間は 00 から 11
    3. lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{2}=∫01x2 dx\displaystyle = \int_0^1 x^{2}\,dx
  2. 02定積分で表すと？lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)3\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{3}答え閉じる
    答え∫01x3 dx\displaystyle \int_0^1 x^{3}\,dx

    解き方

    1. 1n\frac{1}{n} が短冊の幅で dxdx、kn\frac{k}{n} が xx にあたる
    2. kk は 11 から nn まで動くので、kn\frac{k}{n} は 00 から 11 まで。区間は 00 から 11
    3. lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)3\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{3}=∫01x3 dx\displaystyle = \int_0^1 x^{3}\,dx
  3. 03定積分で表すと？lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{1}答え閉じる
    答え∫01x dx\displaystyle \int_0^1 x\,dx
  4. 04定積分で表すと？lim⁡n→∞1n∑k=1n11+kn\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}答え閉じる
    答え∫0111+x dx\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx
  5. 05定積分で表すと？lim⁡n→∞1n∑k=1nkn\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}}答え閉じる
    答え∫01x dx\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x}\,dx
  6. 06定積分で表すと？lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}答え閉じる
    答え∫0111+x2 dx\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^{2}}\,dx

よくある質問

Q11n\frac{1}{n} が見当たらない式はどうする？答え閉じる
A
1n\frac{1}{n} をくくり出します。たとえば ∑k=1nnn2+k2=1n∑k=1n11+(kn)2\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} なので、極限は ∫0111+x2 dx\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx です。
Q2積分の範囲が 0 から 1 になるのはなぜ？答え閉じる
A
k=1k=1 から nn まで動くと kn\frac{k}{n} は 1n\frac{1}{n} から 11 まで動き、n→∞n\to\infty では 00 から 11 までを埋めるからです。kk を 11 から 2n2n まで動かすなら、積分の範囲は 00 から 22 になります。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14