媒介変数表示の曲線と面積

面積 $S=\int_a^b y\,dx$ で $x=f(t)$ と置換すると $dx=\dfrac{dx}{dt}\,dt$ になります。先に $\dfrac{dx}{dt}$ を求め、$y$ とかけたものを $t$ で積分します。積分区間は $x=a$, $x=b$ に対応する $t$ の値 $\alpha$, $\beta$ です。

たとえば $x=t^2$, $y=t$ $(0\le t\le 1)$ なら $\dfrac{dx}{dt}=2t$ で、$S=\displaystyle\int_0^1 t\cdot 2t\,dt=\dfrac23$ です。サイクロイド $x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$ $(0\le t\le 2\pi)$ と $x$ 軸が囲む面積は $\displaystyle\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt=3\pi$ です。

例題

1. 01この定積分は？（$\pi$ の係数）$\displaystyle \begin{matrix} \int_{0}^{2\pi} (1-2\cos t+\cos^{2}t)\,dt \\ \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt=0,\; \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt=\pi \end{matrix}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. 項ごとに分ける。$\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi$、$\cos t$ の項は 0、$\cos^{2}t$ の項は $\pi$
   2. $\displaystyle 2\pi-2\cdot 0+\pi$$\displaystyle = 3\pi$
   3. $\pi$ の係数を訊かれているので 3
2. 02dx/dt は？$\displaystyle x=t^{4}, \quad y=t$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4t^{3}$

   解き方

   1. $x$ を $t$ で微分するだけ
   2. $\displaystyle x$$\displaystyle = t^{4}$$\displaystyle \frac{dx}{dt}$$\displaystyle = 4t^{3}$
   3. 指数を 1 つ下げて前に出す。$\frac{t^{5}}{5}$ は積分した形
3. 03被積分関数 y·(dx/dt) は？$\displaystyle y=t, \quad \frac{dx}{dt}=2t$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2t^{2}$

   解き方

   1. $y$ と $\frac{dx}{dt}$ を掛けるだけ
   2. $\displaystyle t \cdot 2t$$\displaystyle = 2t^{2}$
   3. $t$ を掛けるので指数が 1 つ上がる
4. 04媒介変数表示の曲線が囲む面積。□ に入るのは？$\displaystyle S = \int y \cdot \square \,dt$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{dx}{dt}$
5. 05媒介変数表示の面積を求めるとき、先に求めるのは？$\displaystyle$A$\displaystyle \frac{dy}{dt}$B$\displaystyle \frac{dx}{dt}$C$\displaystyle \frac{dy}{dx}$D$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{dx}{dt}$
6. 06被積分関数 y·(dx/dt) は？$\displaystyle y=t, \quad \frac{dx}{dt}=4t^{3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4t^{4}$

   解き方

   1. $y$ と $\frac{dx}{dt}$ を掛けるだけ
   2. $\displaystyle t \cdot 4t^{3}$$\displaystyle = 4t^{4}$
   3. $t$ を掛けるので指数が 1 つ上がる

よくある質問

Q1$\int y\,dt$ ではだめ？答え閉じる

A

だめです。面積は $x$ についての積分 $\int y\,dx$ なので、$t$ で積分するには $dx=\dfrac{dx}{dt}\,dt$ に置き換えます。$\dfrac{dx}{dt}$ をかけ忘れると別の値になります。

Q2$t$ が増えると $x$ が減る曲線では？答え閉じる

A

$x=a$ に対応する $t$ を下端、$x=b$ に対応する $t$ を上端にします。そのため $t$ の上端と下端が大小逆になることがあります。範囲を決めたら、$y\ge 0$ かどうかも確かめます。