구간을 좁혀 보기 (h→0 실험)

$y=x^2$에서 $x=a$부터 폭 $h$만큼의 구간에서의 평균변화율은 $h\neq 0$일 때 $2a+h$예요.

$a=3$일 때 $h$를 $0.1$, $0.01$, $0.001$로 줄이면 $6.1$, $6.01$, $6.001$이 되어 $6=2a$에 가까워져요. $h$를 음수 쪽에서 가까이 해도 $5.9$, $5.99$, $5.999$로 같은 $6$에 가까워져요.

이렇게 가까워지는 값이 $x=a$에서의 접선의 기울기이고, 나중에 미분계수 $f'(a)$로 정의해요.

예제

1. 01$y=x^2$의 $x=a$에서의 평균변화율. 폭 $h$를 $0$에 가까이 할 때 가까워지는 값은?$\displaystyle 2a+h$답닫기

   답$\displaystyle 2a$
2. 02$y=x^2$의 $x=5$에서의 평균변화율. 폭 $h$를 $0$에 가까이 할 때 가까워지는 값은?$\displaystyle \begin{matrix} h=-0.1 & \Rightarrow & 9.9 \\ h=-0.01 & \Rightarrow & 9.99 \\ h=-0.001 & \Rightarrow & 9.999 \end{matrix}$답닫기

   답$\displaystyle 10$
3. 03$x=1$에서 $x=1+h$까지의 평균변화율이 접선의 기울기에 가장 가까운 것은?$\displaystyle y=x^2$답닫기

   답$\displaystyle h=0.001$
4. 04$y=x^2$의 $x=3$에서의 평균변화율. 폭 $h$를 $0$에 가까이 할 때 가까워지는 값은?$\displaystyle \begin{matrix} h=-0.1 & \Rightarrow & 5.9 \\ h=-0.01 & \Rightarrow & 5.99 \\ h=-0.001 & \Rightarrow & 5.999 \end{matrix}$답닫기

   답$\displaystyle 6$
5. 05$y=x^2$의 $x=4$에서의 평균변화율. 폭 $h$를 $0$에 가까이 할 때 가까워지는 값은?$\displaystyle \begin{matrix} h=-0.1 & \Rightarrow & 7.9 \\ h=-0.01 & \Rightarrow & 7.99 \\ h=-0.001 & \Rightarrow & 7.999 \end{matrix}$답닫기

   답$\displaystyle 8$
6. 06$y=x^2$의 $x=1$에서의 평균변화율. 폭 $h$를 $0$에 가까이 할 때 가까워지는 값은?$\displaystyle \begin{matrix} h=-0.1 & \Rightarrow & 1.9 \\ h=-0.01 & \Rightarrow & 1.99 \\ h=-0.001 & \Rightarrow & 1.999 \end{matrix}$답닫기

   답$\displaystyle 2$

자주 묻는 질문

Q1처음부터 $h=0$을 대입하면 안 되나요?답닫기

A

원래 식 $\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}$에 $h=0$을 넣으면 $\dfrac{0}{0}$이 되어 값이 정해지지 않아요. $h\neq 0$인 채로 약분해서 $2a+h$로 만든 뒤 $h$를 $0$에 가까이 해요.

Q2$h$가 음수일 때도 같은 값에 가까워지나요?답닫기

A

$y=x^2$에서는 그래요. $2a+h$는 $h$가 양수든 음수든 $h\to 0$일 때 $2a$에 가까워지므로, 오른쪽에서 좁히든 왼쪽에서 좁히든 같은 값이에요.