방정식의 실근의 개수

삼차함수가 극댓값과 극솟값을 가질 때, $x$축에 평행한 직선 $y=k$를 위아래로 움직이며 그래프와 만나는 횟수를 세요.

$k$가 극댓값이나 극솟값과 같으면 직선이 그래프에 접해서 2개, 극댓값보다 크거나 극솟값보다 작으면 1개예요. 예를 들어 $x=2$에서 극댓값 $5$, $x=4$에서 극솟값 $1$을 갖는 삼차함수라면, $f(x)=0$의 우변 $0$이 극솟값 $1$보다 작으므로 실근은 1개예요.

예제

1. 01x=0에서 극댓값 1, x=2에서 극솟값 -2를 갖는 삼차함수. 실근이 3개가 되는 □는?$\displaystyle \square < k < 1$답닫기

   답$\displaystyle -2$

   풀이

   1. 실근이 3개이면 k는 그 사이에 있어요
   2. $\displaystyle -2$$\displaystyle < k < 1$
   3. 경계는 극솟값 자체예요. 그때의 x = 2가 아니에요
2. 02x=1에서 극댓값 7, x=4에서 극솟값 3을 갖는 삼차함수. 실근이 3개가 되는 k의 범위는?$\displaystyle f(x)=k$답닫기

   답$\displaystyle 3<k<7$

   풀이

   1. 양 끝에서 어떻게 되는지 확인해요
   2. $\displaystyle k = 7$$\displaystyle \Rightarrow 2$$\displaystyle k = 3$$\displaystyle \Rightarrow 2$
   3. 양 끝에서는 접해서 2개가 되므로 부등호에 등호가 들어가지 않아요
3. 03x=2에서 극댓값 5, x=4에서 극솟값 1을 갖는 삼차함수. 실근은 몇 개?$\displaystyle f(x)=0$답닫기

   답$\displaystyle 1$
4. 04x=-1에서 극댓값 3, x=1에서 극솟값 1을 갖는 삼차함수. 실근이 3개가 되는 □는?$\displaystyle \square < k < 3$답닫기

   답$\displaystyle 1$

   풀이

   1. 실근이 3개이면 k는 그 사이에 있어요
   2. $\displaystyle 1$$\displaystyle < k < 3$
   3. 경계는 극솟값 자체예요. 그때의 x = -1이 아니에요
5. 05x=-1에서 극댓값 9, x=1에서 극솟값 1을 갖는 삼차함수. 실근이 3개가 되는 □는?$\displaystyle \square < k < 9$답닫기

   답$\displaystyle 1$

   풀이

   1. 실근이 3개이면 k는 그 사이에 있어요
   2. $\displaystyle 1$$\displaystyle < k < 9$
   3. 경계는 극솟값 자체예요. 그때의 x = 1이 아니에요
6. 06x=0에서 극댓값 -1, x=3에서 극솟값 -4를 갖는 삼차함수. 실근이 3개가 되는 □는?$\displaystyle \square < k < -1$답닫기

   답$\displaystyle -4$

   풀이

   1. 실근이 3개이면 k는 그 사이에 있어요
   2. $\displaystyle -4$$\displaystyle < k < -1$
   3. 경계는 극솟값 자체예요. 그때의 x = 3이 아니에요

자주 묻는 질문

Q1왜 $f(x)=k$ 꼴로 나누어 생각하나요?답닫기

A

$k$를 우변으로 분리하면 좌변의 그래프는 $k$와 관계없이 하나로 정해지고, $k$는 직선의 높이만 나타내요. 그래프를 한 번 그리면 직선을 위아래로 움직이는 것만으로 $k$마다 실근의 개수를 읽을 수 있어요.

Q2$k$가 극댓값과 같으면 몇 개인가요?답닫기

A

서로 다른 실근은 2개예요. 직선 $y=k$가 극대인 점에서 그래프에 접하고(이 $x$는 중근), 다른 한 곳에서 만나요.