평균변화율

$y$의 값의 변화량을 $x$의 값의 변화량으로 나눈 것이 평균변화율이에요. 그래프 위의 두 점 $(a,\,f(a))$, $(b,\,f(b))$를 지나는 직선의 기울기와 같은 식이에요.

예를 들어 $y=x^2$에서 $x$의 값이 $2$에서 $5$까지 변하면 $\dfrac{5^2-2^2}{5-2}=\dfrac{21}{3}=7$이에요. $y=x^2$에서는 $\dfrac{b^2-a^2}{b-a}=a+b$이므로 답은 양 끝 값의 합이 돼요.

예제

1. 01$y=x^2$에서 $x$의 값이 $2$에서 $5$까지 변할 때의 평균변화율은?$\displaystyle \frac{5^2 - 2^2}{5 - 2}$답닫기

   답$\displaystyle 7$
2. 02$y=x^2$에서 $x$의 값이 $4$에서 $5$까지 변할 때의 평균변화율은?$\displaystyle \frac{5^2 - 4^2}{5 - 4}$답닫기

   답$\displaystyle 9$
3. 03$y=x^2$에서 $x$의 값이 $2$에서 $4$까지 변할 때의 평균변화율은?$\displaystyle \frac{4^2 - 2^2}{4 - 2}$답닫기

   답$\displaystyle 6$
4. 04$y=x^2$에서 $x$의 값이 $1$에서 $2$까지 변할 때의 평균변화율은?$\displaystyle \frac{2^2 - 1^2}{2 - 1}$답닫기

   답$\displaystyle 3$
5. 05$y=x^2$에서 $x$의 값이 $3$에서 $4$까지 변할 때의 평균변화율은?$\displaystyle \frac{4^2 - 3^2}{4 - 3}$답닫기

   답$\displaystyle 7$
6. 06$y=x^2$에서 $x$의 값이 $1$에서 $4$까지 변할 때의 평균변화율은?$\displaystyle \frac{4^2 - 1^2}{4 - 1}$답닫기

   답$\displaystyle 5$

자주 묻는 질문

Q1분자와 분모는 어떤 순서로 빼나요?답닫기

A

분자와 분모 모두 "나중 값 − 처음 값"으로 맞춰요. $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$와 $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$는 같은 값이지만, 분자와 분모의 순서를 섞으면 부호가 반대가 돼요.

Q2평균변화율과 미분계수는 어떤 관계인가요?답닫기

A

평균변화율에서 $b$를 $a$에 가까이 할 때 가까워지는 값이 미분계수 $f'(a)$예요. 두 점을 지나는 직선의 기울기가 한 점에서의 접선의 기울기에 가까워져요.