수학II 미분

닫힌구간에서의 최대, 최소

닫힌구간 a≤x≤ba\le x\le b에서의 최댓값과 최솟값은 구간의 양 끝과 구간 안에서 f′(x)=0f'(x)=0인 점의 함숫값을 비교해서 구해요.

후보: f(a), f(b), f(x0)(f′(x0)=0, a<x0<b)\begin{gathered} \text{후보}:\ f(a),\ f(b),\ f(x_0) \\[4pt] (f'(x_0)=0,\ a<x_0<b) \end{gathered}

다항함수처럼 미분가능한 함수는 닫힌구간에서 구간의 끝이나 구간 안에서 f′(x)=0f'(x)=0인 점 중 어딘가에서 최댓값과 최솟값을 가져요. 순서는 세 단계예요.

f′(x)=0f'(x)=0을 풀고 구간 안쪽에 있는 해만 남겨요. 양 끝 x=a, bx=a,\ b와 함께 f(x)f(x)의 값을 계산해요. 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이에요.

f′(x)=0f'(x)=0의 해가 x=0, 4x=0,\ 4이고 구간이 [1, 7][1,\ 7]이면 조사할 xx는 1, 4, 71,\ 4,\ 7이에요.

예제

  1. 010 ≤ x ≤ 2에서 f'(x)=0인 것은 x=1뿐이에요. 최댓값은?f(0)=−1,  f(1)=6,  f(2)=−2\displaystyle f(0)=-1,\; f(1)=6,\; f(2)=-2답닫기
    답6\displaystyle 6
  2. 02조사할 x의 값: 0, □, 5. □에 알맞은 값을 구하세요.f′(x)=0  ⇒  x=3, 8,[0, 5]\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x=3,\ 8, \\[6pt] \displaystyle [0,\ 5] \end{gathered}답닫기
    답3\displaystyle 3
  3. 03이 구간에서 최댓값과 최솟값을 조사할 때, 후보가 되는 x는?f′(x)=0  ⇒  x=±3,[0, 6]\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x=\pm3, \\[6pt] \displaystyle [0,\ 6] \end{gathered}답닫기
    답x=0, 3, 6\displaystyle x=0,\ 3,\ 6

    풀이

    1. f'(x)=0인 점 중에서 구간 안에 있는 것만 남겨요
    2. x\displaystyle x=3\displaystyle = 3
    3. x = -3은 구간 밖이므로 세지 않아요
    4. 여기에 구간의 양 끝을 추가해요
    5. x\displaystyle x=0, 3, 6\displaystyle = 0,\ 3,\ 6
  4. 04조사할 x의 값: 2, □, 7. □에 알맞은 값을 구하세요.f′(x)=0  ⇒  x=5, 8,[2, 7]\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x=5,\ 8, \\[6pt] \displaystyle [2,\ 7] \end{gathered}답닫기
    답5\displaystyle 5

    풀이

    1. f'(x)=0인 점 중에서 구간 안에 있는 것만 남겨요
    2. x\displaystyle x=5\displaystyle = 5
    3. x = 8은 구간 밖이에요
    4. 양 끝을 추가하면
    5. x\displaystyle x=2, 5, 7\displaystyle = 2,\ 5,\ 7
  5. 05조사할 x의 값: 1, □, 5. □에 알맞은 값을 구하세요.f′(x)=0  ⇒  x=−1, 2,[1, 5]\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\ 2, \\[6pt] \displaystyle [1,\ 5] \end{gathered}답닫기
    답2\displaystyle 2

    풀이

    1. f'(x)=0인 점 중에서 구간 안에 있는 것만 남겨요
    2. x\displaystyle x=2\displaystyle = 2
    3. x = -1은 구간 밖이에요
    4. 양 끝을 추가하면
    5. x\displaystyle x=1, 2, 5\displaystyle = 1,\ 2,\ 5
  6. 06조사할 x의 값: 1, □, 3. □에 알맞은 값을 구하세요.f′(x)=0  ⇒  x=−2, 2,[1, 3]\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x=-2,\ 2, \\[6pt] \displaystyle [1,\ 3] \end{gathered}답닫기
    답2\displaystyle 2

    풀이

    1. f'(x)=0인 점 중에서 구간 안에 있는 것만 남겨요
    2. x\displaystyle x=2\displaystyle = 2
    3. x = -2는 구간 밖이에요
    4. 양 끝을 추가하면
    5. x\displaystyle x=1, 2, 3\displaystyle = 1,\ 2,\ 3

자주 묻는 질문

Q1극댓값이 곧 최댓값인가요?답닫기
A
꼭 그렇지는 않아요. −2≤x≤2-2\le x\le2에서 f(−1)=−1f(-1)=-1이 극값이어도 끝점의 값 f(2)=7f(2)=7이 더 크면 최댓값은 77이에요. 끝점의 값도 꼭 비교해요.
Q2f′(x)=0f'(x)=0의 해가 구간 밖에 있으면요?답닫기
A
그 해는 후보에서 빼요. 구간 안에 f′(x)=0f'(x)=0인 점이 없으면 f(x)f(x)는 그 구간에서 증가하거나 감소하기만 하므로 양 끝의 값만으로 최댓값과 최솟값이 정해져요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14