삼차함수의 그래프의 개형

$f'(x)=0$인 $x$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 $+$에서 $-$로 바뀌면 극대, $-$에서 $+$로 바뀌면 극소예요. 극값은 원래 함수에 대입해서 구해요. 예를 들어 $y=x^3-12x$는 $y'=3x^2-12=3(x+2)(x-2)$이므로 $x=-2$에서 극댓값 $16$, $x=2$에서 극솟값 $-16$을 가져요.

$x$를 한없이 크게 할 때의 $y$는 $x^3$의 계수로 정해져요. 계수가 양수이면 $y$는 한없이 커지고, 음수이면 한없이 작아져요.

$f'(x)$의 부호가 바뀌지 않으면 극값이 없어요. $f'(x)=3x^2+4$는 항상 양수이므로 $f(x)$는 계속 증가하고 극값을 갖지 않아요.

예제

1. 01다음 중 $f(x)$가 극값을 갖지 않게 하는 $f'(x)$는?$\displaystyle$A$\displaystyle 3x^{2}-3x$B$\displaystyle 3x^{2}-1$C$\displaystyle 3x^{2}-3$D$\displaystyle 3x^{2}+4$답닫기

   답$\displaystyle 3x^{2}+4$

   풀이

   1. $\displaystyle 3x^2$$\displaystyle \ge 0$
   2. 양의 상수를 더하므로
   3. $\displaystyle 3x^2+4$$\displaystyle \ge 4 > 0$
2. 02이 삼차함수는 x=-2에서 극댓값을 가져요. 그 극댓값은?$\displaystyle y=x^3-12x$답닫기

   답$\displaystyle 16$

   풀이

   1. $\displaystyle (-2)^3 - 12 \cdot (-2)$$\displaystyle = -8 + 24$$\displaystyle = 16$
3. 03이 삼차함수는 x=3에서 극솟값을 가져요. 그 극솟값은?$\displaystyle y=x^3-27x$답닫기

   답$\displaystyle -54$

   풀이

   1. $\displaystyle (3)^3 - 27 \cdot 3$$\displaystyle = 27 - 81$$\displaystyle = -54$
4. 04이 삼차함수는 x=-1에서 극댓값을 가져요. 그 극댓값은?$\displaystyle y=x^3-3x$답닫기

   답$\displaystyle 2$

   풀이

   1. $\displaystyle (-1)^3 - 3 \cdot (-1)$$\displaystyle = -1 + 3$$\displaystyle = 2$

자주 묻는 질문

Q1$f'(x)=0$인 점이 있으면 극값을 갖나요?답닫기

A

꼭 그렇지는 않아요. $f(x)=x^3$은 $f'(0)=0$이지만 $f'(x)=3x^2\ge 0$으로 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 없어요. 삼차함수가 극값을 갖는 건 이차식 $f'(x)$의 판별식이 양수여서 $f'(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가질 때예요.

Q2$y=-x^3+6x$에서 $x$를 크게 하면 $y$는 어떻게 되나요?답닫기

A

한없이 작아져요. $-x^3+6x=x^3\left(-1+\frac{6}{x^2}\right)$로 바꾸면 괄호 안은 $-1$에 가까워지므로 $y$는 절댓값이 한없이 큰 음수가 돼요.