곡선 밖의 점에서 그은 접선

곡선 밖의 점에서 접선을 그을 때는 접점을 모르므로, 먼저 접점을 $(t,\ f(t))$로 놓아요. 그 점에서의 접선은

이 직선이 점 $(p,\ q)$를 지나므로 $x=p$, $y=q$를 대입한 $q-f(t)=f'(t)(p-t)$를 $t$에 대해 풀어요.

예를 들어 $y=x^2$에 점 $(0,\ -4)$에서 접선을 그으면, 접선은 $y=2t(x-t)+t^2$이고 $-4=-2t^2+t^2$에서 $t=\pm 2$예요. 접선은 $y=4x-4$와 $y=-4x-4$의 두 개예요.

예제

1. 01이 접점에서의 접선의 기울기는?$\displaystyle y=x^{2}, \quad (t,\ t^{2})$답닫기

   답$\displaystyle 2t$

   풀이

   1. $\displaystyle y$$\displaystyle = x^{2}$
   2. 미분하면
   3. $\displaystyle y'$$\displaystyle = 2x$
   4. x = t에서의 값이 접선의 기울기예요
   5. $\displaystyle y'(t)$$\displaystyle = 2t$
2. 02이 접선이 점 (0, -2)를 지날 조건을 나타낸 식은?$\displaystyle y = 2t(x-t)+t^{2}$답닫기

   답$\displaystyle -2 = -2t^{2}+t^{2}$

   풀이

   1. $\displaystyle 2t(0-t)+t^{2}$$\displaystyle = -2t^{2}+t^{2}$
   2. 지난다는 것은 이 값이 -2와 같다는 뜻이에요
3. 03t를 구하면?$\displaystyle -t^{2} = -16$답닫기

   답$\displaystyle t=\pm 4$

   풀이

   1. $\displaystyle -t^{2} = -16$$\displaystyle \Rightarrow t^{2} = 16$
   2. 제곱해서 16이 되는 수는 2개예요
   3. $\displaystyle t$$\displaystyle = \pm 4$
   4. 그래서 접선이 2개 그어져요
4. 04이 곡선 위의 접점을 (t, □)로 놓아요. □에 들어갈 것은?$\displaystyle y=x^{2}$답닫기

   답$\displaystyle t^{2}$

   풀이

   1. 곡선 위의 점이므로 식에 t를 대입해요
   2. $\displaystyle y$$\displaystyle = x^{2}$$\displaystyle x = t$$\displaystyle \Rightarrow y = t^{2}$
5. 05$x=-2$에서의 접선의 기울기를 나타내는 것은?$\displaystyle f(x)=x^{2}$A$\displaystyle -2$B$\displaystyle f'(x)$C$\displaystyle f(-2)$D$\displaystyle f'(-2)$답닫기

   답$\displaystyle f'(-2)$
6. 06$x=2$에서의 접선. □에 들어갈 것은?$\displaystyle f(x)=x^{2} \;\Rightarrow\; y=\square(x-2)+4$답닫기

   답$\displaystyle 4$

자주 묻는 질문

Q1지나는 점 $(p,\ q)$를 접선의 방정식에 바로 넣으면 안 되나요?답닫기

A

안 돼요. $y-f(a)=f'(a)(x-a)$에서 $(a,\ f(a))$는 곡선 위의 접점이에요. 곡선 밖의 점은 접점이 아니므로, 접점을 $t$로 놓은 뒤 지나는 조건을 써요.

Q2접선은 몇 개 그을 수 있나요?답닫기

A

$t$에 대한 방정식의 실근의 개수만큼 접점이 있어요. $y=x^2$에서는 $t$가 다르면 접선도 다르므로, 실근이 2개면 접선도 2개예요.