수학II 적분

교점을 구한 뒤 넓이 구하기

두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 먼저 두 식을 같다고 놓아 교점의 xx좌표를 구하고, 그것을 아래끝과 위끝으로 써요.

f(x)=g(x) ⇒ x=α, β,S=∫αβ{g(x)−f(x)} dx(g(x)≥f(x))\begin{gathered} f(x)=g(x)\ \Rightarrow\ x=\alpha,\ \beta, \\[4pt] S=\int_\alpha^\beta\{g(x)-f(x)\}\,dx\quad(g(x)\ge f(x)) \end{gathered}

y=x2y=x^2과 y=x+12y=x+12의 교점은 x2=x+12x^2=x+12, 즉 x2−x−12=(x+3)(x−4)=0x^2-x-12=(x+3)(x-4)=0에서 x=−3, 4x=-3,\ 4예요.

S=∫−34{(x+12)−x2} dxS=\int_{-3}^{4}\{(x+12)-x^2\}\,dx

두 교점 사이에서는 직선이 포물선보다 위에 있으므로 직선의 식에서 포물선의 식을 빼요. 교점의 xx좌표 중 작은 쪽을 아래끝, 큰 쪽을 위끝으로 해요.

예제

  1. 01□에 들어갈 수는?y=x2,y=25  ⇒  x=±□\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle y=x^2, \\[6pt] \displaystyle y=25 \;\Rightarrow\; x=\pm\square \end{gathered}답닫기
    답5\displaystyle 5

    풀이

    1. x2=25\displaystyle x^2 = 25⇒x=±5\displaystyle \Rightarrow x = \pm 5
  2. 02두 곡선의 교점의 x좌표는?y=x2,y=x+12\displaystyle y=x^2,\quad y=x+12답닫기
    답x=−3, 4\displaystyle x=-3,\ 4

    풀이

    1. x2−(x+12)\displaystyle x^2 - (x+12)=(x+3)(x−4)\displaystyle = (x+3)(x-4)
    2. 곱이 0이므로 어느 한 인수가 0이에요
    3. (x+3)(x−4)=0\displaystyle (x+3)(x-4) = 0⇒x=−3\displaystyle \Rightarrow x = -3(x+3)(x−4)=0\displaystyle (x+3)(x-4) = 0⇒x=4\displaystyle \Rightarrow x = 4
  3. 03두 곡선의 교점의 x좌표는?y=x2,y=−x+12\displaystyle y=x^2,\quad y=-x+12답닫기
    답x=−4, 3\displaystyle x=-4,\ 3

    풀이

    1. x2−(−x+12)\displaystyle x^2 - (-x+12)=(x+4)(x−3)\displaystyle = (x+4)(x-3)
    2. 곱이 0이므로 어느 한 인수가 0이에요
    3. (x+4)(x−3)=0\displaystyle (x+4)(x-3) = 0⇒x=−4\displaystyle \Rightarrow x = -4(x+4)(x−3)=0\displaystyle (x+4)(x-3) = 0⇒x=3\displaystyle \Rightarrow x = 3
  4. 04두 곡선의 교점의 x좌표는?y=x2,y=−x+2\displaystyle y=x^2,\quad y=-x+2답닫기
    답x=−2, 1\displaystyle x=-2,\ 1

    풀이

    1. x2−(−x+2)\displaystyle x^2 - (-x+2)=(x+2)(x−1)\displaystyle = (x+2)(x-1)
    2. 곱이 0이므로 어느 한 인수가 0이에요
    3. (x+2)(x−1)=0\displaystyle (x+2)(x-1) = 0⇒x=−2\displaystyle \Rightarrow x = -2(x+2)(x−1)=0\displaystyle (x+2)(x-1) = 0⇒x=1\displaystyle \Rightarrow x = 1
  5. 05두 곡선의 교점의 x좌표는?y=x2,y=2x\displaystyle y=x^2,\quad y=2x답닫기
    답x=0, 2\displaystyle x=0,\ 2

    풀이

    1. x2−2x\displaystyle x^2 - 2x=x(x−2)\displaystyle = x(x-2)
    2. 곱이 0이므로 어느 한 인수가 0이에요
    3. x(x−2)=0\displaystyle x(x-2) = 0⇒x=0\displaystyle \Rightarrow x = 0x(x−2)=0\displaystyle x(x-2) = 0⇒x=2\displaystyle \Rightarrow x = 2
  6. 06두 곡선의 교점의 x좌표는?y=x2,y=x+2\displaystyle y=x^2,\quad y=x+2답닫기
    답x=−1, 2\displaystyle x=-1,\ 2

    풀이

    1. x2−(x+2)\displaystyle x^2 - (x+2)=(x+1)(x−2)\displaystyle = (x+1)(x-2)
    2. 곱이 0이므로 어느 한 인수가 0이에요
    3. (x+1)(x−2)=0\displaystyle (x+1)(x-2) = 0⇒x=−1\displaystyle \Rightarrow x = -1(x+1)(x−2)=0\displaystyle (x+1)(x-2) = 0⇒x=2\displaystyle \Rightarrow x = 2

자주 묻는 질문

Q1y=x2y=x^2과 y=25y=25의 교점은 x=5x=5뿐인가요?답닫기
A
x2=25x^2=25의 해는 x=±5x=\pm 5 두 개예요. 두 그래프는 x=−5x=-5와 x=5x=5에서 만나고, 둘러싸인 부분은 −5≤x≤5-5\le x\le 5 범위예요.
Q2x2=3xx^2=3x의 양변을 xx로 나누면 안 되나요?답닫기
A
xx로 나눌 수 있는 건 x≠0x\ne 0일 때뿐이라서 x=0x=0인 해가 사라져요. x2−3x=x(x−3)=0x^2-3x=x(x-3)=0으로 인수분해하면 x=0, 3x=0,\ 3이 모두 나와요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14