넓이를 가는 직사각형으로 나누어 보기

구간 $a\le x\le b$를 $n$등분하면 직사각형 하나의 폭은 $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$이에요. 각 직사각형의 높이를 왼쪽 끝의 $x$에서의 $f(x)$로 잡으면, 직사각형 넓이의 합으로 곡선 아래의 넓이를 어림할 수 있어요.

예를 들어 $y=x^2$, $0\le x\le 1$을 4등분하면 폭은 $\dfrac14$이고, 왼쪽 끝은 $x=0,\ \dfrac14,\ \dfrac12,\ \dfrac34$예요. 4번째 높이는 $\left(\dfrac34\right)^2=\dfrac{9}{16}$이고, 합은

이에요. 직사각형을 가늘게 할수록 이 합은 곡선 아래의 넓이(여기서는 $\dfrac13$)에 가까워져요. 이것이 구분구적법이고, 정적분의 바탕이 되는 생각이에요.

예제

1. 01$4$등분하고 왼쪽 끝에서 높이를 잡아요. $4$번째 직사각형의 높이는?$\displaystyle y=x^{2}, \quad 0 \le x \le 1$답닫기

   답$\displaystyle \frac{9}{16}$

   풀이

   1. $\displaystyle x$$\displaystyle = \frac{3}{4}$
   2. 그곳의 높이는
   3. $\displaystyle y$$\displaystyle = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$
2. 02이 구간을 $4$등분할 때, 직사각형 하나의 폭은?$\displaystyle 0 \le x \le 3$답닫기

   답$\displaystyle \frac{3}{4}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{3 - 0}{4}$$\displaystyle = \frac{3}{4}$
3. 03이 구간을 $3$등분할 때, 직사각형 하나의 폭은?$\displaystyle 0 \le x \le 6$답닫기

   답$\displaystyle 2$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{6 - 0}{3}$$\displaystyle = 2$
4. 04이 구간을 $3$등분할 때, 직사각형 하나의 폭은?$\displaystyle 0 \le x \le 4$답닫기

   답$\displaystyle \frac{4}{3}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{4 - 0}{3}$$\displaystyle = \frac{4}{3}$
5. 05이 구간을 $6$등분할 때, 직사각형 하나의 폭은?$\displaystyle 0 \le x \le 2$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{3}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{2 - 0}{6}$$\displaystyle = \frac{1}{3}$

자주 묻는 질문

Q1높이는 왼쪽 끝과 오른쪽 끝 중 어디에서 잡나요?답닫기

A

어느 쪽이든 직사각형을 가늘게 하면 같은 넓이에 가까워져요(연속함수일 때). 나누는 개수가 적을 때는 값이 다르고, $y=x^2$처럼 증가하는 함수에서는 왼쪽 끝이면 작게, 오른쪽 끝이면 크게 나와요.

Q24등분하고 왼쪽 끝을 쓸 때, 4번째 직사각형의 왼쪽 끝은 어디인가요?답닫기

A

$x=a+3\Delta x$예요. 1번째의 왼쪽 끝이 $x=a$($k=0$)이므로 4번째는 $k=3$이에요. $0\le x\le 1$이면 $x=\dfrac34$예요.