정적분의 성질

위끝과 아래끝을 바꾸면 값의 부호가 반대가 돼요. $\int_2^4 f(x)\,dx=-9$이면 $\int_4^2 f(x)\,dx=9$예요.

구간을 중간의 $b$에서 나눌 때는 앞 적분의 위끝과 뒤 적분의 아래끝을 같은 $b$로 해요. 상수배는 밖으로 꺼낼 수 있으므로 $\int_0^1 f(x)\,dx=2$이면 $\int_0^1 3f(x)\,dx=3\cdot 2=6$이에요.

예제

1. 01□에 들어갈 수는?$\displaystyle \int_{1}^{4} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} f(x)\,dx + \int_{\square}^{4} f(x)\,dx$답닫기

   답$\displaystyle 2$

   풀이

   1. $\displaystyle \int_{1}^{4} f(x)\,dx$$\displaystyle = \int_{1}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{4} f(x)\,dx$
2. 02이 정적분의 값은?$\displaystyle \int_{6}^{6} f(x)\,dx$답닫기

   답$\displaystyle 0$

   풀이

   1. $\displaystyle 6 \le x \le 6$$\displaystyle \Rightarrow \int_{6}^{6} f(x)\,dx = 0$
3. 03$\int_{4}^{2} f(x)\,dx$의 값은?$\displaystyle \int_{2}^{4} f(x)\,dx = -9$답닫기

   답$\displaystyle 9$
4. 04$\int_{0}^{1} 3f(x)dx$의 값은?$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 2$답닫기

   답$\displaystyle 6$
5. 05□에 들어갈 수는?$\displaystyle \int_{2}^{5} f(x)\,dx = \int_{2}^{3} f(x)\,dx + \int_{\square}^{5} f(x)\,dx$답닫기

   답$\displaystyle 3$

   풀이

   1. $\displaystyle \int_{2}^{5} f(x)\,dx$$\displaystyle = \int_{2}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{5} f(x)\,dx$
6. 06□에 들어갈 수는?$\displaystyle \int_{1}^{5} f(x)\,dx = \int_{1}^{3} f(x)\,dx + \int_{\square}^{5} f(x)\,dx$답닫기

   답$\displaystyle 3$

   풀이

   1. $\displaystyle \int_{1}^{5} f(x)\,dx$$\displaystyle = \int_{1}^{3} f(x)\,dx + \int_{3}^{5} f(x)\,dx$

자주 묻는 질문

Q1구간을 나눌 때 $b$가 $a$와 $c$ 사이에 있어야 하나요?답닫기

A

$a$, $b$, $c$의 대소와 관계없이 성립해요($f(x)$가 이들을 포함하는 구간에서 연속일 때). $b$가 $c$보다 커도 $\int_b^c f(x)\,dx=-\int_c^b f(x)\,dx$에 의해 남는 부분이 상쇄돼요.