수학II 적분

정적분을 포함한 함수의 결정

위끝과 아래끝이 상수인 정적분 ∫abf(t) dt\int_a^b f(t)\,dt는 하나의 수이므로 kk로 놓으면 f(x)f(x)를 kk로 나타낼 수 있고, kk에 대한 방정식으로 f(x)f(x)가 정해져요.

f(x)=g(x)+∫abf(t) dt⇒ ∫abf(t) dt=k (상수)로 놓기\begin{gathered} f(x)=g(x)+\int_a^b f(t)\,dt \\[4pt] \Rightarrow\ \int_a^b f(t)\,dt=k\ (\text{상수})\text{로 놓기} \end{gathered}

∫03f(t) dt\int_0^3 f(t)\,dt는 xx를 포함하지 않는 상수예요. 이것을 kk로 놓으면 f(x)=2x+∫03f(t) dtf(x)=2x+\int_0^3 f(t)\,dt는 f(x)=2x+kf(x)=2x+k로 쓸 수 있어요. 이 ff를 [0,3][0,3]에서 적분하면 다시 kk가 되어야 해요.

k=∫03(2t+k) dt=9+3kk=\int_0^3(2t+k)\,dt=9+3k

이것을 풀면 k=−92k=-\frac{9}{2}이고 f(x)=2x−92f(x)=2x-\frac{9}{2}로 정해져요. 순서는 정적분을 kk로 놓기, f(x)f(x)를 kk로 나타내기, 그 식을 적분해서 kk에 대한 방정식 세우기의 세 단계예요.

예제

  1. 01f(x)는?f(x)=6x+k,k=−12\displaystyle f(x)=6x+k, \quad k=-12답닫기
    답6x−12\displaystyle 6x-12

    풀이

    1. k를 대입해요
    2. f(x)\displaystyle f(x)=6x−12\displaystyle = 6x-12
    3. 이 f를 적분하면 다시 k가 돼요
    4. ∫02(6x−12) dx\displaystyle \int_{0}^{2} (6x-12)\,dx=−12\displaystyle = -12
  2. 02이것을 [0, 3]에서 적분하면?f(x)=2x+k\displaystyle f(x)=2x+k답닫기
    답9+3k\displaystyle 9+3k

    풀이

    1. ∫032x dx\displaystyle \int_{0}^{3} 2x\,dx=9\displaystyle = 9
    2. k도 적분되므로 구간의 길이가 곱해져요
    3. ∫03k dx\displaystyle \int_{0}^{3} k\,dx=3k\displaystyle = 3k
  3. 03f(x)를 k로 나타내면?f(x)=6x+∫03f(t) dt,  ∫03f(t) dt=k\displaystyle f(x) = 6x + \int_{0}^{3} f(t)\,dt,\; \int_{0}^{3} f(t)\,dt = k답닫기
    답6x+k\displaystyle 6x+k

    풀이

    1. 적분 부분은 수이므로 k로 둬요
    2. f(x)\displaystyle f(x)=6x+k\displaystyle = 6x+k
    3. k는 수예요. x가 곱해지지 않아요
  4. 04k의 값은?k=48+4k\displaystyle k = 48+4k답닫기
    답−16\displaystyle -16

    풀이

    1. k=48+4k\displaystyle k = 48+4k⇒−3k=48\displaystyle \Rightarrow -3k = 48
    2. 양변을 -3으로 나눠요
    3. k\displaystyle k=−16\displaystyle = -16
    4. 다시 대입하면 맞아요
    5. 48+4⋅(−16)\displaystyle 48 + 4 \cdot (-16)=−16\displaystyle = -16
  5. 05f(x)를 k로 나타내면?f(x)=2x+∫03f(t) dt,  ∫03f(t) dt=k\displaystyle f(x) = 2x + \int_{0}^{3} f(t)\,dt,\; \int_{0}^{3} f(t)\,dt = k답닫기
    답2x+k\displaystyle 2x+k

    풀이

    1. 적분 부분은 수이므로 k로 둬요
    2. f(x)\displaystyle f(x)=2x+k\displaystyle = 2x+k
    3. k는 수예요. x가 곱해지지 않아요
  6. 06f(x)는?f(x)=4x+k,k=−8\displaystyle f(x)=4x+k, \quad k=-8답닫기
    답4x−8\displaystyle 4x-8

    풀이

    1. k를 대입해요
    2. f(x)\displaystyle f(x)=4x−8\displaystyle = 4x-8
    3. 이 f를 적분하면 다시 k가 돼요
    4. ∫02(4x−8) dx\displaystyle \int_{0}^{2} (4x-8)\,dx=−8\displaystyle = -8

자주 묻는 질문

Q1왜 ∫abf(t) dt\int_a^b f(t)\,dt를 상수로 놓을 수 있나요?답닫기
A
위끝과 아래끝이 모두 수이므로 적분한 결과에 xx가 남지 않고 하나의 수가 되기 때문이에요. 위끝이 xx인 ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,dt는 xx의 함수이므로 상수로 놓을 수 없어요.
Q2적분 변수가 tt인 이유는 뭔가요?답닫기
A
f(x)f(x)의 식에 있는 xx와 구별하기 위해서예요. 정적분의 값은 적분에 쓰는 문자와 관계없으므로 ∫03f(t) dt=∫03f(x) dx\int_0^3 f(t)\,dt=\int_0^3 f(x)\,dx예요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14