우함수, 기함수의 정적분

$f(-x)=f(x)$를 만족하는 함수를 우함수, $f(-x)=-f(x)$를 만족하는 함수를 기함수라고 해요. $x^2$, $x^4$, 상수는 우함수, $x$, $x^3$, $x^5$는 기함수예요.

우함수의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이라 좌우의 넓이가 같고, 기함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이라 좌우가 서로 상쇄돼요. 예를 들어 $\int_{-1}^{1} x^4\,dx=2\int_{0}^{1} x^4\,dx=\frac{2}{5}$예요.

예제

1. 01기함수인 것은?$\displaystyle$A$\displaystyle 2$B$\displaystyle x^{2}$C$\displaystyle x^{5}$D$\displaystyle x^{2}+1$답닫기

   답$\displaystyle x^{5}$

   풀이

   1. $\displaystyle (-x)^{5}$$\displaystyle = -x^{5}$
   2. 짝수 제곱은 부호가 그대로예요
   3. $\displaystyle (-x)^{2}$$\displaystyle = x^{2}$
2. 02f(x)가 기함수일 때 □에 들어갈 것은?$\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \square$답닫기

   답$\displaystyle 0$

   풀이

   1. $\displaystyle \int_{-1}^{0} x^{3}\,dx$$\displaystyle = -\frac{1}{4}$$\displaystyle \int_{0}^{1} x^{3}\,dx$$\displaystyle = \frac{1}{4}$
   2. 더하면 상쇄돼요
   3. $\displaystyle \int_{-1}^{1} x^{3}\,dx$$\displaystyle = 0$
3. 03f(-x)는?$\displaystyle f(x)=x^{2}$답닫기

   답$\displaystyle x^{2}$

   풀이

   1. $\displaystyle (-x)^{2}$$\displaystyle = (-1)^{2}x^{2}$$\displaystyle = x^{2}$
4. 04$x^{4}$은 우함수예요. 이 정적분의 값은?$\displaystyle \int_{-1}^{1} x^{4}\,dx$답닫기

   답$\displaystyle \frac{2}{5}$

   풀이

   1. $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{4}\,dx$$\displaystyle = \frac{1}{5}$
   2. 우함수이므로 한쪽의 2배
   3. $\displaystyle \int_{-1}^{1} x^{4}\,dx$$\displaystyle = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$
5. 05이 정적분의 값은?$\displaystyle \int_{-3}^{3} x^{5}\,dx$답닫기

   답$\displaystyle 0$

   풀이

   1. $\displaystyle \int_{-3}^{0} x^{5}\,dx$$\displaystyle = -\frac{243}{2}$$\displaystyle \int_{0}^{3} x^{5}\,dx$$\displaystyle = \frac{243}{2}$
   2. 더하면 상쇄돼요
   3. $\displaystyle \int_{-3}^{3} x^{5}\,dx$$\displaystyle = 0$
6. 06f(-x)는?$\displaystyle f(x)=x^{5}$답닫기

   답$\displaystyle -x^{5}$

   풀이

   1. $\displaystyle (-x)^{5}$$\displaystyle = (-1)^{5}x^{5}$$\displaystyle = -x^{5}$

자주 묻는 질문