수학II 적분

정적분으로 나타낸 함수의 미분

aa가 상수일 때 ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,dt를 xx에 대하여 미분하면 피적분함수의 tt를 xx로 바꾼 f(x)f(x)가 돼요.

ddx∫axf(t) dt=f(x)(a는 상수)\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\quad(a\text{는 상수})

∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,dt는 위끝 xx에 따라 값이 바뀌는 xx에 대한 함수예요. f(t)f(t)의 부정적분 하나를 F(t)F(t)라 하면 F(x)−F(a)F(x)-F(a)이고, F(a)F(a)는 상수이므로 미분하면 없어져요.

ddx∫axf(t) dt=F′(x)=f(x)\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=F'(x)=f(x)

예를 들어 ∫3xt2 dt=x33−9\int_3^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}-9를 미분하면 x2x^2이에요. 적분을 계산하지 않아도 t2t^2의 tt를 xx로 바꾸기만 하면 답이 나와요.

예제

  1. 01이렇게 계산했어요. 이것을 미분하면?∫3xt2 dt=x33−9\displaystyle \int_{3}^{x} t^{2}\,dt = \frac{x^{3}}{3} - 9답닫기
    답x2\displaystyle x^{2}

    풀이

    1. 아래끝에서 나온 항은 상수이므로 사라져요
    2. ddx(x33−9)\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3} - 9\right)=x2\displaystyle = x^{2}
  2. 02계산하면?ddx∫0xt3 dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} t^{3}\,dt답닫기
    답x3\displaystyle x^{3}

    풀이

    1. ∫0xf(t) dt\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)\,dt=F(x)−F(0)\displaystyle = F(x) - F(0)
    2. F(0)은 상수이므로 미분하면 사라져요
    3. F′(x)\displaystyle F'(x)=f(x)\displaystyle = f(x)
    4. t를 x로 바꾸기만 하면 돼요
    5. ddx∫0xt3 dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} t^{3}\,dt=x3\displaystyle = x^{3}
  3. 03이 식에 x=3을 대입하면?ddx∫1x(t2+1) dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{1}^{x} (t^{2}+1)\,dt답닫기
    답10\displaystyle 10

    풀이

    1. ∫1xf(t) dt\displaystyle \int_{1}^{x} f(t)\,dt=F(x)−F(1)\displaystyle = F(x) - F(1)
    2. F(1)은 상수이므로 미분하면 사라져요
    3. F′(x)\displaystyle F'(x)=f(x)\displaystyle = f(x)
    4. t를 x로 바꾸기만 하면 돼요
    5. ddx∫1x(t2+1) dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{1}^{x} (t^{2}+1)\,dt=x2+1\displaystyle = x^{2}+1
    6. 그다음 x = 3을 대입해요
    7. 32+1\displaystyle 3^{2}+1=10\displaystyle = 10
  4. 04□에 들어갈 것은?ddx∫axf(t) dt=□\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = \square답닫기
    답f(x)\displaystyle f(x)

    풀이

    1. ∫axf(t) dt\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)\,dt=F(x)−F(a)\displaystyle = F(x) - F(a)
    2. F(a)는 상수이므로 미분하면 사라져요
    3. F′(x)\displaystyle F'(x)=f(x)\displaystyle = f(x)
  5. 05계산하면?ddx∫0xt2 dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} t^{2}\,dt답닫기
    답x2\displaystyle x^{2}

    풀이

    1. ∫0xf(t) dt\displaystyle \int_{0}^{x} f(t)\,dt=F(x)−F(0)\displaystyle = F(x) - F(0)
    2. F(0)은 상수이므로 미분하면 사라져요
    3. F′(x)\displaystyle F'(x)=f(x)\displaystyle = f(x)
    4. t를 x로 바꾸기만 하면 돼요
    5. ddx∫0xt2 dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} t^{2}\,dt=x2\displaystyle = x^{2}
  6. 06계산하면?ddx∫1x(3t+2) dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{1}^{x} (3t+2)\,dt답닫기
    답3x+2\displaystyle 3x+2

    풀이

    1. ∫1xf(t) dt\displaystyle \int_{1}^{x} f(t)\,dt=F(x)−F(1)\displaystyle = F(x) - F(1)
    2. F(1)은 상수이므로 미분하면 사라져요
    3. F′(x)\displaystyle F'(x)=f(x)\displaystyle = f(x)
    4. t를 x로 바꾸기만 하면 돼요
    5. ddx∫1x(3t+2) dt\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{1}^{x} (3t+2)\,dt=3x+2\displaystyle = 3x+2

자주 묻는 질문

Q1아래끝 aa는 답에 영향을 주나요?답닫기
A
주지 않아요. aa가 바뀌면 상수 F(a)F(a)만 바뀌고, 미분하면 00이 돼요. ddx∫1x(t2+1) dt\frac{d}{dx}\int_1^x(t^2+1)\,dt와 ddx∫2x(t2+1) dt\frac{d}{dx}\int_2^x(t^2+1)\,dt는 모두 x2+1x^2+1이에요.
Q2∫24t3 dt\int_2^4 t^3\,dt도 xx에 대한 함수인가요?답닫기
A
아니에요. 위끝과 아래끝이 모두 수이므로 값은 xx와 관계없는 상수(6060)예요. 끝에 xx가 들어 있을 때만 xx에 대한 함수가 돼요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14