수학II 적분

1/6 공식

포물선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 교점의 xx좌표 α<β\alpha<\beta와 x2x^2의 계수 aa로 ∣a∣6(β−α)3\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3으로 구할 수 있어요.

∫αβ(x−α)(x−β) dx=−(β−α)36\begin{gathered} \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx \\[4pt] =-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} \end{gathered}

포물선 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c와 직선의 교점의 xx좌표를 α<β\alpha<\beta라 하면, 두 식의 차는 a(x−α)(x−β)a(x-\alpha)(x-\beta)로 인수분해돼요. 위의 적분 공식에서 둘러싸인 부분의 넓이는 다음과 같아요.

S=∣a∣6(β−α)3S=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3

aa는 차를 구한 식의 x2x^2의 계수예요. y=4x2−4xy=4x^2-4x와 y=4xy=4x라면 차는 4x2−8x=4x(x−2)4x^2-8x=4x(x-2)이므로 a=4a=4, α=0\alpha=0, β=2\beta=2이고 S=46⋅23=163S=\frac{4}{6}\cdot 2^3=\frac{16}{3}이에요.

예제

  1. 01a=2a=2, β−α=4\beta-\alpha=4임을 알았어요. 넓이는?area=∣a∣6(β−α)3\displaystyle \text{area} = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3답닫기
    답643\displaystyle \frac{64}{3}

    풀이

    1. 26⋅43\displaystyle \frac{2}{6}\cdot4^3=1286\displaystyle = \frac{128}{6}=643\displaystyle = \frac{64}{3}
  2. 02넓이 =∣a∣6(β−α)3=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3에서 aa의 값은?y=5x2−2x,y=2x\displaystyle y=5x^2-2x,\quad y=2x답닫기
    답5\displaystyle 5

    풀이

    1. 5x2−2x=2x\displaystyle 5x^2-2x = 2x⇒5x2−4x=0\displaystyle \Rightarrow 5x^2-4x = 0
    2. x²의 계수를 읽어요
    3. a\displaystyle a=5\displaystyle = 5
  3. 03넓이 =∣a∣6(β−α)3=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3에서 aa의 값은?y=2x2−x,y=x\displaystyle y=2x^2-x,\quad y=x답닫기
    답2\displaystyle 2

    풀이

    1. 2x2−x=x\displaystyle 2x^2-x = x⇒2x2−2x=0\displaystyle \Rightarrow 2x^2-2x = 0
    2. x²의 계수를 읽어요
    3. a\displaystyle a=2\displaystyle = 2
  4. 04넓이 =∣a∣6(β−α)3=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3에서 aa의 값은?y=4x2−5x,y=5x\displaystyle y=4x^2-5x,\quad y=5x답닫기
    답4\displaystyle 4

    풀이

    1. 4x2−5x=5x\displaystyle 4x^2-5x = 5x⇒4x2−10x=0\displaystyle \Rightarrow 4x^2-10x = 0
    2. x²의 계수를 읽어요
    3. a\displaystyle a=4\displaystyle = 4
  5. 05넓이 =∣a∣6(β−α)3=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3에서 aa의 값은?y=2x2−3x,y=3x\displaystyle y=2x^2-3x,\quad y=3x답닫기
    답2\displaystyle 2

    풀이

    1. 2x2−3x=3x\displaystyle 2x^2-3x = 3x⇒2x2−6x=0\displaystyle \Rightarrow 2x^2-6x = 0
    2. x²의 계수를 읽어요
    3. a\displaystyle a=2\displaystyle = 2
  6. 06넓이 =∣a∣6(β−α)3=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3에서 aa의 값은?y=3x2−4x,y=4x\displaystyle y=3x^2-4x,\quad y=4x답닫기
    답3\displaystyle 3

    풀이

    1. 3x2−4x=4x\displaystyle 3x^2-4x = 4x⇒3x2−8x=0\displaystyle \Rightarrow 3x^2-8x = 0
    2. x²의 계수를 읽어요
    3. a\displaystyle a=3\displaystyle = 3

자주 묻는 질문

Q1aa는 직선의 계수인가요, 포물선의 계수인가요?답닫기
A
차를 구한 이차식의 x2x^2의 계수예요. 포물선과 직선이면 포물선의 x2x^2의 계수와 같아요. 두 포물선이면 두 x2x^2의 계수의 차가 aa예요.
Q2어떤 때 쓸 수 없나요?답닫기
A
차가 이차식이 아닐 때예요. 예를 들어 삼차함수의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분은 차가 삼차식이 되므로 1/6 공식을 그대로 쓸 수 없어요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14