부분분수와 적분

$\frac{1}{(x-4)(x+4)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+4}$의 양변에 $(x-4)(x+4)$를 곱하면 $1=A(x+4)+B(x-4)$예요. $x=4$를 대입하면 $A=\frac{1}{8}$, $x=-4$를 대입하면 $B=-\frac{1}{8}$이 나와요.

나눈 다음에는 하나씩 적분해요.

$\int\frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C$를 쓰므로 절댓값 기호를 빠뜨리지 않도록 해요.

예제

1. 01적분하면?$\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+2}\right)dx$답닫기

   답$\displaystyle \ln|x-3| - \ln|x+2|+C$

   풀이

   1. 두 조각 모두 $\frac{1}{x}$ 꼴이므로 둘 다 $\ln$이 되고, 뺄셈은 그대로 뺄셈이에요
   2. $\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}\right)dx$$\displaystyle = \ln|x-3|-\ln|x+2|+C$
   3. 차를 합으로 바꾸지 마세요. 그러면 다른 함수가 돼요
2. 02A의 값은?$\displaystyle \frac{1}{(x-4)(x+4)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+4}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{8}$

   풀이

   1. 양변에 $x-4$를 곱하면 좌변은 $\frac{1}{x+4}$이 돼요. 여기에 $x=4$를 대입해요
   2. $\displaystyle \frac{1}{4+4}$$\displaystyle = \frac{1}{8}$
   3. $B$도 같은 방법이지만 $x=-4$를 대입하므로 부호가 반대예요
3. 03□에 들어갈 것은?$\displaystyle \frac{2}{(x-4)(x+1)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{\square}$답닫기

   답$\displaystyle x+1$

   풀이

   1. 나눈 분모는 인수들을 하나씩 그대로 쓴 것이에요
   2. $(x-4)(x+1)$의 인수는 $x-4$, $x+1$ 두 개예요. 부호와 지수는 그대로 둬요
4. 04적분하면?$\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+4}\right)dx$답닫기

   답$\displaystyle \ln|x-2| - \ln|x+4|+C$

   풀이

   1. 두 조각 모두 $\frac{1}{x}$ 꼴이므로 둘 다 $\ln$이 되고, 뺄셈은 그대로 뺄셈이에요
   2. $\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+4}\right)dx$$\displaystyle = \ln|x-2|-\ln|x+4|+C$
   3. 차를 합으로 바꾸지 마세요. 그러면 다른 함수가 돼요
5. 05적분하면?$\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+2}\right)dx$답닫기

   답$\displaystyle \ln|x-4| - \ln|x+2|+C$

   풀이

   1. 두 조각 모두 $\frac{1}{x}$ 꼴이므로 둘 다 $\ln$이 되고, 뺄셈은 그대로 뺄셈이에요
   2. $\displaystyle \int \left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+2}\right)dx$$\displaystyle = \ln|x-4|-\ln|x+2|+C$
   3. 차를 합으로 바꾸지 마세요. 그러면 다른 함수가 돼요
6. 06A의 값은?$\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{2}$

   풀이

   1. 양변에 $x-1$을 곱하면 좌변은 $\frac{1}{x+1}$이 돼요. 여기에 $x=1$을 대입해요
   2. $\displaystyle \frac{1}{1+1}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$
   3. $B$도 같은 방법이지만 $x=-1$을 대입하므로 부호가 반대예요

자주 묻는 질문

Q1$A$, $B$를 빨리 구하려면?답닫기

A

양변에 분모를 곱한 식에 분모가 0이 되는 $x$를 대입해요. $1=A(x+4)+B(x-4)$라면 $x=4$일 때 $B$의 항이 없어지고 $A$만 남아요. 계수를 비교해도 같은 답이 나와요.

Q2분자의 차수가 분모의 차수 이상이면요?답닫기

A

먼저 나눗셈을 해서 다항식과, 분자의 차수가 분모보다 낮은 분수로 나눠요. 부분분수로 나누는 건 그다음이에요.