미적분: 여러 가지 적분법

정적분의 부분적분법

정적분의 부분적분법은 ∫abuv′ dx=[uv]ab−∫abu′v dx\int_{a}^{b} uv'\,dx=\left[uv\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u'v\,dx이고, uvuv 항에도 끝값을 대입해요.

∫abuv′ dx=[uv]ab−∫abu′v dx\begin{gathered} \int_{a}^{b} uv'\,dx \\[4pt] =\left[uv\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u'v\,dx \end{gathered}

부정적분의 부분적분법과 마찬가지로 미분하면 간단해지는 쪽을 uu, 적분하기 쉬운 쪽을 v′v'로 해요. 다른 점은 꺼낸 uvuv 항에도 aa, bb를 대입해서 수로 만든다는 거예요.

∫01xex dx=[xex]01−∫01ex dx=e−(e−1)=1\begin{gathered} \int_{0}^{1} xe^{x}\,dx \\[4pt] =\left[xe^{x}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} e^{x}\,dx \\[4pt] =e-(e-1) \\[4pt] =1 \end{gathered}

이 예에서는 u=xu=x, v′=exv'=e^{x}이므로 v=exv=e^{x}예요. [xex]01=e\left[xe^{x}\right]_{0}^{1}=e와 ∫01ex dx=e−1\int_{0}^{1}e^{x}\,dx=e-1을 따로 계산한 뒤 빼요.

예제

  1. 01이 값은?∫01xex dx=[xex]01−∫01ex dx\displaystyle \int_{0}^{1} xe^{x}\,dx = [xe^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}\,dx답닫기
    답1\displaystyle 1

    풀이

    1. [uv][uv] 부분은 먼저 끝값을 대입해서 수가 돼요
    2. 1⋅e1−0⋅e0\displaystyle 1 \cdot e^{1} - 0 \cdot e^{0}=e\displaystyle = e
    3. 남은 적분도 수가 돼요
    4. ∫01ex dx\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}\,dx=e−1\displaystyle = e-1
    5. 빼요. 빼는 것을 잊으면 ee가 남아요
    6. e−(e−1)\displaystyle e-(e-1)=1\displaystyle = 1
  2. 02v는?u=x,v′=cos⁡x\displaystyle u=x, \quad v'=\cos x답닫기
    답sin⁡x\displaystyle \sin x

    풀이

    1. vv는 v′v'를 적분한 것이고, cos⁡x\cos x를 적분하면 부호가 그대로예요
    2. ∫cos⁡x dx\displaystyle \int \cos x\,dx=sin⁡x+C\displaystyle = \sin x+C
    3. 마이너스가 붙는 것은 cos⁡\cos이 아니라 sin⁡\sin을 적분할 때예요
  3. 03□에 들어갈 것은?∫abuv′ dx=[uv]ab−∫ab□ dx\displaystyle \int_{a}^{b} uv'\,dx = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \square\,dx답닫기
    답u′v\displaystyle u'v

    풀이

    1. 이 공식은 곱의 미분법 (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'을 uv′uv'에 대해 정리한 것이에요
    2. uv′=(uv)′−u′vuv'=(uv)'-u'v의 양변을 적분하면 ∫(uv)′\int (uv)' 부분은 [uv][uv]가 되고, −∫u′v-\int u'v 부분이 남아요
    3. 프라임이 옮겨 가요. 빼는 쪽은 uv′uv' 그대로가 아니라 u′vu'v예요
  4. 04이 값은?∫01ex dx\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}\,dx답닫기
    답e−1\displaystyle e-1

    풀이

    1. exe^{x}을 적분하면 exe^{x}이에요. 위끝의 값에서 아래끝의 값을 빼요
    2. e1−e0\displaystyle e^{1}-e^{0}=e−1\displaystyle = e-1
    3. e0=1e^{0}=1을 빼므로 ee 자체가 되지 않아요
  5. 05이 값은?e−(e−1)\displaystyle e - (e-1)답닫기
    답1\displaystyle 1

    풀이

    1. 괄호를 풀면 두 ee가 상쇄돼요
    2. e−(e−1)\displaystyle e-(e-1)=e−e+1\displaystyle = e-e+1=1\displaystyle = 1
    3. 앞의 마이너스 때문에 안의 −1-1이 +1+1로 바뀌어요
  6. 06이 값은?[x2]02\displaystyle [x^{2}]_{0}^{2}답닫기
    답4\displaystyle 4

    풀이

    1. 위끝을 대입한 값에서 아래끝을 대입한 값을 빼요
    2. 22−02\displaystyle 2^{2} - 0^{2}=4\displaystyle = 4

자주 묻는 질문

Q1vv를 구할 때 적분상수를 붙이나요?답닫기
A
붙이지 않아도 돼요. v′v'의 부정적분 중 하나를 고르면 되므로, v′=cos⁡xv'=\cos x이면 v=sin⁡xv=\sin x로 해요.
Q2빼는 쪽의 적분도 구간이 그대로인가요?답닫기
A
그대로예요. [uv]ab\left[uv\right]_{a}^{b}와 ∫abu′v dx\int_{a}^{b} u'v\,dx 모두 같은 aa부터 bb까지로 계산해요. 마이너스 부호가 뒤의 적분 전체에 걸린다는 점을 잊지 마세요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14