미적분: 여러 가지 적분법

구분구적법

구분구적법은 합의 극한 lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right)을 정적분 ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx로 나타내는 방법이에요.

lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\begin{gathered} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right) \\[4pt] =\int_0^1 f(x)\,dx \end{gathered}

구간 [0, 1][0,\ 1]을 nn등분하면 폭이 1n\frac{1}{n}, 높이가 f ⁣(kn)f\!\left(\frac{k}{n}\right)인 직사각형이 nn개 생겨요. f(x)f(x)가 연속이면 이 넓이의 합은 n→∞n\to\infty일 때 정적분이 돼요.

lim⁡n→∞1n∑k=1nf ⁣(kn)=∫01f(x) dx\begin{gathered} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\!\left(\frac{k}{n}\right) \\[4pt] =\int_0^1 f(x)\,dx \end{gathered}

바꿀 때는 kn\frac{k}{n}을 xx로, 1n\frac{1}{n}을 dxdx로 읽어요. 1n\frac{1}{n}이 앞에 나와 있지 않으면 먼저 1n\frac{1}{n}으로 묶어서 나머지를 kn\frac{k}{n}만의 식으로 만들어요.

예제

  1. 01정적분으로 나타내면?lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{2}답닫기
    답∫01x2 dx\displaystyle \int_0^1 x^{2}\,dx

    풀이

    1. 1n\frac{1}{n}은 직사각형의 폭, 즉 dxdx이고, kn\frac{k}{n}는 xx 역할을 해요
    2. kk가 11부터 nn까지 움직이면 kn\frac{k}{n}는 00부터 11까지 움직여요. 그래서 구간은 00부터 11까지예요
    3. lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{2}=∫01x2 dx\displaystyle = \int_0^1 x^{2}\,dx
  2. 02정적분으로 나타내면?lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)3\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{3}답닫기
    답∫01x3 dx\displaystyle \int_0^1 x^{3}\,dx

    풀이

    1. 1n\frac{1}{n}은 직사각형의 폭, 즉 dxdx이고, kn\frac{k}{n}는 xx 역할을 해요
    2. kk가 11부터 nn까지 움직이면 kn\frac{k}{n}는 00부터 11까지 움직여요. 그래서 구간은 00부터 11까지예요
    3. lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)3\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{3}=∫01x3 dx\displaystyle = \int_0^1 x^{3}\,dx
  3. 03정적분으로 나타내면?lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{1}답닫기
    답∫01x dx\displaystyle \int_0^1 x\,dx
  4. 04정적분으로 나타내면?lim⁡n→∞1n∑k=1n11+kn\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}답닫기
    답∫0111+x dx\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x}\,dx
  5. 05정적분으로 나타내면?lim⁡n→∞1n∑k=1nkn\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}}답닫기
    답∫01x dx\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x}\,dx
  6. 06정적분으로 나타내면?lim⁡n→∞∑k=1nnn2+k2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}답닫기
    답∫0111+x2 dx\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^{2}}\,dx

자주 묻는 질문

Q11n\frac{1}{n}이 보이지 않는 식은 어떻게 하나요?답닫기
A
1n\frac{1}{n}으로 묶어 내요. 예를 들어 ∑k=1nnn2+k2=1n∑k=1n11+(kn)2\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}이므로 극한은 ∫0111+x2 dx\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx예요.
Q2적분 구간이 0부터 1까지인 이유는 뭔가요?답닫기
A
kk가 11부터 nn까지 움직이면 kn\frac{k}{n}은 1n\frac{1}{n}부터 11까지 움직이고, n→∞n\to\infty이면 00부터 11까지를 채우기 때문이에요. kk가 11부터 2n2n까지 움직이면 적분 구간은 00부터 22까지가 돼요.

공개 2026-10-14 · 최종 수정 2026-10-14