매개변수로 나타낸 곡선과 넓이

넓이 $S=\int_a^b y\,dx$에서 $x=f(t)$로 치환하면 $dx=\dfrac{dx}{dt}\,dt$가 돼요. 먼저 $\dfrac{dx}{dt}$를 구하고, $y$와 곱한 것을 $t$에 대해 적분해요. 적분 구간은 $x=a$, $x=b$에 대응하는 $t$의 값 $\alpha$, $\beta$예요.

예를 들어 $x=t^2$, $y=t$ $(0\le t\le 1)$이면 $\dfrac{dx}{dt}=2t$이고, $S=\displaystyle\int_0^1 t\cdot 2t\,dt=\dfrac23$이에요. 사이클로이드 $x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$ $(0\le t\le 2\pi)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt=3\pi$예요.

예제

1. 01이 정적분의 값은? ($\pi$의 계수)$\displaystyle \begin{matrix} \int_{0}^{2\pi} (1-2\cos t+\cos^{2}t)\,dt \\ \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt=0,\; \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt=\pi \end{matrix}$답닫기

   답$\displaystyle 3$

   풀이

   1. 항별로 나눠요. $\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi$, $\cos t$의 항은 0, $\cos^{2}t$의 항은 $\pi$예요
   2. $\displaystyle 2\pi-2\cdot 0+\pi$$\displaystyle = 3\pi$
   3. $\pi$의 계수를 묻고 있으므로 답은 3이에요
2. 02dx/dt는?$\displaystyle x=t^{4}, \quad y=t$답닫기

   답$\displaystyle 4t^{3}$

   풀이

   1. $x$를 $t$로 미분하기만 하면 돼요
   2. $\displaystyle x$$\displaystyle = t^{4}$$\displaystyle \frac{dx}{dt}$$\displaystyle = 4t^{3}$
   3. 지수를 1만큼 줄여서 앞으로 내려요. $\frac{t^{5}}{5}$ 쪽은 적분한 꼴이에요
3. 03피적분함수 y·(dx/dt)는?$\displaystyle y=t, \quad \frac{dx}{dt}=2t$답닫기

   답$\displaystyle 2t^{2}$

   풀이

   1. $y$와 $\frac{dx}{dt}$를 곱하기만 하면 돼요
   2. $\displaystyle t \cdot 2t$$\displaystyle = 2t^{2}$
   3. $t$를 곱하므로 지수가 1만큼 올라가요
4. 04매개변수로 나타낸 곡선으로 둘러싸인 넓이. □에 들어갈 것은?$\displaystyle S = \int y \cdot \square \,dt$답닫기

   답$\displaystyle \frac{dx}{dt}$
5. 05매개변수로 나타낸 곡선의 넓이를 구할 때 먼저 구하는 것은?$\displaystyle$A$\displaystyle \frac{dy}{dt}$B$\displaystyle \frac{dx}{dt}$C$\displaystyle \frac{dy}{dx}$D$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{dx}{dt}$
6. 06피적분함수 y·(dx/dt)는?$\displaystyle y=t, \quad \frac{dx}{dt}=4t^{3}$답닫기

   답$\displaystyle 4t^{4}$

   풀이

   1. $y$와 $\frac{dx}{dt}$를 곱하기만 하면 돼요
   2. $\displaystyle t \cdot 4t^{3}$$\displaystyle = 4t^{4}$
   3. $t$를 곱하므로 지수가 1만큼 올라가요

자주 묻는 질문

Q1$\int y\,dt$로 계산하면 안 되나요?답닫기

A

안 돼요. 넓이는 $x$에 대한 적분 $\int y\,dx$이므로, $t$에 대해 적분하려면 $dx$를 $\dfrac{dx}{dt}\,dt$로 바꿔야 해요. $\dfrac{dx}{dt}$를 곱하는 걸 잊으면 다른 값이 나와요.

Q2$t$가 증가할 때 $x$가 감소하는 곡선이면요?답닫기

A

$x=a$에 대응하는 $t$를 아래끝, $x=b$에 대응하는 $t$를 위끝으로 해요. 그래서 $t$의 위끝과 아래끝의 대소가 거꾸로 될 수도 있어요. 구간을 정한 뒤에는 $y\ge 0$인지도 확인해요.