(ax+b) 꼴의 치환적분

$t=ax+b$로 놓으면 $dt=a\,dx$, 즉 $dx=\frac{1}{a}\,dt$예요. 이 $\frac{1}{a}$이 계수로 앞에 나와요.

답을 미분하면 합성함수의 미분법으로 속의 미분 $a$가 곱해져요. $\frac{1}{a}$은 그것을 상쇄하려고 붙어 있어요. $a=1$이면 $\frac{1}{a}=1$이므로 $x^n$의 공식과 같은 꼴이에요.

예제

1. 01적분하세요$\displaystyle \int \left(3x + 2\right)^{3} \, dx$답닫기

   답$\displaystyle \frac{\left(3x + 2\right)^{4}}{12} + C$
2. 02적분하세요$\displaystyle \int \left(3x + 2\right)^{2} \, dx$답닫기

   답$\displaystyle \frac{\left(3x + 2\right)^{3}}{9} + C$
3. 03적분하세요$\displaystyle \int \left(x + 2\right)^{3} \, dx$답닫기

   답$\displaystyle \frac{\left(x + 2\right)^{4}}{4} + C$
4. 04적분하세요$\displaystyle \int \left(x + 3\right)^{4} \, dx$답닫기

   답$\displaystyle \frac{\left(x + 3\right)^{5}}{5} + C$
5. 05적분하세요$\displaystyle \int \left(2x + 2\right)^{3} \, dx$답닫기

   답$\displaystyle \frac{\left(2x + 2\right)^{4}}{8} + C$
6. 06적분하세요$\displaystyle \int \left(x + 1\right)^{2} \, dx$답닫기

   답$\displaystyle \frac{\left(x + 1\right)^{3}}{3} + C$

자주 묻는 질문

Q1왜 $\frac{1}{a}$이 붙나요?답닫기

A

답을 미분해 보면 알 수 있어요. $\left\{\frac{(3x+2)^{4}}{12}\right\}'=\frac{4(3x+2)^{3}\cdot 3}{12}=(3x+2)^{3}$이에요. 속의 미분인 $3$이 나오므로 미리 $\frac{1}{3}$을 곱해 두는 거예요.

Q2$n=-1$일 때는요?답닫기

A

이 공식은 쓸 수 없어요. $\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$가 돼요. $\frac{1}{a}$이 붙는 건 같아요.