회전체의 부피

회전체를 $x$축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 반지름이 $|f(x)|$인 원이에요. 단면의 넓이 $\pi\{f(x)\}^2$을 $a$부터 $b$까지 적분하면 부피가 돼요.

먼저 $\{f(x)\}^2$을 전개해서 피적분함수를 만들고, $\pi$는 밖으로 빼 두었다가 마지막에 곱해요.

예제

1. 01$x$축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는? ($\pi$의 계수)$\displaystyle y=3x, \quad [0,\ 1]$답닫기

   답$\displaystyle 3$

   풀이

   1. 반지름이 $3x$이므로 단면의 넓이는 $\pi(3x)^{2}$
   2. $\displaystyle \int_{0}^{1} (3x)^{2}\,dx$$\displaystyle = 3$
   3. $\pi$의 계수를 묻고 있으므로, 이 값에서 $\pi$를 떼어 낸 수가 답이에요
2. 02피적분함수를 구했어요. 이 정적분의 값은?$\displaystyle \int_{0}^{1} 4x^{2}\,dx$답닫기

   답$\displaystyle \frac{4}{3}$

   풀이

   1. $x^{2}$을 적분하면 $\frac{x^{3}}{3}$. 위끝 1을 대입해요
   2. $\displaystyle \int_{0}^{1} 4x^{2}\,dx$$\displaystyle = \frac{4}{3}$
3. 03$x$축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피에서 $\pi$의 계수는?$\displaystyle y=3x, \quad [0,\ 3]$답닫기

   답$\displaystyle 81$

   풀이

   1. 반지름이 $3x$인 원을 0부터 3까지 더해요
   2. $\displaystyle \int_{0}^{3} (3x)^{2}\,dx$$\displaystyle = 81$
4. 04$x$축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는? ($\pi$의 계수)$\displaystyle y=4x, \quad [0,\ 1]$답닫기

   답$\displaystyle \frac{16}{3}$

   풀이

   1. 반지름이 $4x$이므로 단면의 넓이는 $\pi(4x)^{2}$
   2. $\displaystyle \int_{0}^{1} (4x)^{2}\,dx$$\displaystyle = \frac{16}{3}$
   3. $\pi$의 계수를 묻고 있으므로, 이 값에서 $\pi$를 떼어 낸 수가 답이에요
5. 05피적분함수를 구했어요. 이 정적분의 값은?$\displaystyle \int_{0}^{1} 9x^{2}\,dx$답닫기

   답$\displaystyle 3$

   풀이

   1. $x^{2}$을 적분하면 $\frac{x^{3}}{3}$. 위끝 1을 대입해요
   2. $\displaystyle \int_{0}^{1} 9x^{2}\,dx$$\displaystyle = 3$
6. 06$x$축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피에서 $\pi$의 계수는?$\displaystyle y=x, \quad [0,\ 3]$답닫기

   답$\displaystyle 9$

   풀이

   1. 반지름이 $x$인 원을 0부터 3까지 더해요
   2. $\displaystyle \int_{0}^{3} (x)^{2}\,dx$$\displaystyle = 9$

자주 묻는 질문

Q1왜 $f(x)$를 제곱하나요?답닫기

A

단면이 반지름 $|f(x)|$인 원이고, 원의 넓이가 $\pi\times(\text{반지름})^2$이기 때문이에요. 제곱하므로 $f(x)$가 음수인 구간에서도 그대로 쓸 수 있어요.

Q2두 곡선 사이의 부분을 회전시킬 때는요?답닫기

A

$x$축에서 먼 쪽을 $f(x)$, 가까운 쪽을 $g(x)$라 하면, 둘 다 $x$축의 같은 쪽에 있을 때 $\pi\int_a^b[\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2]\,dx$예요. $\pi\int_a^b\{f(x)-g(x)\}^2\,dx$가 아니에요.