곡선의 길이

$x$가 $dx$만큼 움직이면 $y$는 약 $y'\,dx$만큼 움직이므로, 곡선의 작은 조각의 길이는 $\sqrt{(dx)^2+(y'\,dx)^2}=\sqrt{1+(y')^2}\,dx$예요. 이것을 모두 더한 것이 곡선의 길이예요.

교과서 문제에서는 근호 안이 완전제곱 꼴이 되는 경우가 많아요. $y'=\frac{u-\frac{1}{u}}{2}$이면 $1+(y')^2=\left(\frac{u+\frac{1}{u}}{2}\right)^2$이고, $u>0$일 때 근호를 벗기면 $\frac{u+\frac{1}{u}}{2}$가 돼요.

예제

1. 01곡선의 길이 공식이에요. □에 들어갈 것은?$\displaystyle L = \int \sqrt{1+(\square)^{2}}\,dx$답닫기

   답$\displaystyle y'$
2. 02$1+(y')^2$은?$\displaystyle y'=\frac{e^{x}-\frac{1}{e^{x}}}{2}$답닫기

   답$\displaystyle \left(\frac{e^{x}+\frac{1}{e^{x}}}{2}\right)^{2}$
3. 03$x>0$일 때 $\sqrt{1+(y')^2}$은?$\displaystyle 1+(y')^{2}=\left(\frac{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}{2}\right)^{2}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}{2}$
4. 04이 정적분의 값은?$\displaystyle \int_{1}^{3} \frac{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}{2}\,dx$답닫기

   답$\displaystyle \frac{14}{3}$
5. 05$x>0$일 때 $\sqrt{1+(y')^2}$은?$\displaystyle 1+(y')^{2}=\left(\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\right)^{2}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{x+\frac{1}{x}}{2}$
6. 06$1+(y')^2$은?$\displaystyle y'=\frac{x^{2}-\frac{1}{x^{2}}}{2}$답닫기

   답$\displaystyle \left(\frac{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}{2}\right)^{2}$

자주 묻는 질문