치환적분법

$\int 2x(x^2+3)^3\,dx$에서는 괄호 안을 $t=x^2+3$으로 놓아요. 미분하면 $\frac{dt}{dx}=2x$이므로 $dt=2x\,dx$이고, $2x\,dx$가 그대로 $dt$로 바뀌어요.

순서는 $t$를 정하고, $dt$를 구해 $dx$를 없애고, $t$로 적분한 뒤, 마지막에 $x$로 되돌리는 거예요. $\sqrt{1-x^2}$이 들어 있는 식에서는 $x=\sin\theta$로 놓는 치환도 써요.

예제

1. 01$t=x^{2}+1$로 치환하여 풀 수 있는 것은?$\displaystyle$답닫기

   답$\displaystyle \int 2x(x^{2}+1)^{3}\,dx$
2. 02$dt = \square\,dx$에서 □에 들어갈 것은?$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int 2x(x^{2}+3)^{3}\,dx, \\[6pt] \displaystyle t=x^{2}+3 \end{gathered}$답닫기

   답$\displaystyle 2x$
3. 03$x$에 대한 식으로 되돌리면?$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int 2x(x^{2}+3)^{3}\,dx = \frac{t^{4}}{4}+C, \\[6pt] \displaystyle t=x^{2}+3 \end{gathered}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{(x^{2}+3)^{4}}{4}+C$
4. 04$t$에 대한 적분으로 바꾸면?$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int 2x(x^{2}+2)^{3}\,dx, \\[6pt] \displaystyle t=x^{2}+2,\; dt=2x\,dx \end{gathered}$답닫기

   답$\displaystyle \int t^{3}\,dt$
5. 05$dt = \square\,dx$에서 □에 들어갈 것은?$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int 2x(x^{2}+4)^{3}\,dx, \\[6pt] \displaystyle t=x^{2}+4 \end{gathered}$답닫기

   답$\displaystyle 2x$
6. 06$t$에 대한 적분으로 바꾸면?$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int 2x(x^{2}+3)^{4}\,dx, \\[6pt] \displaystyle t=x^{2}+3,\; dt=2x\,dx \end{gathered}$답닫기

   답$\displaystyle \int t^{4}\,dt$

자주 묻는 질문

Q1무엇을 $t$로 놓으면 되나요?답 보기닫기

A

그 부분을 미분한 식이 바깥에 곱해져 있는 것을 $t$로 놓아요. $2x(x^2+3)^3$이라면 $x^2+3$을 미분한 $2x$가 바깥에 있으므로 $t=x^2+3$으로 놓을 수 있어요.

Q2마지막에 $x$로 되돌려야 하나요?답 보기닫기

A

부정적분은 답을 $x$에 대한 식으로 쓰므로 $t=x^2+3$을 대입해서 되돌려요. 정적분이라면 적분 구간을 $t$의 값으로 바꾸면 되돌리지 않고 계산할 수 있어요.

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공개 2026-10-13 · 최종 수정 2026-10-13