정적분의 치환적분법

치환한 뒤에는 $x$의 양 끝값에 대응하는 $t$의 값을 구해서 새 적분 구간으로 써요.

이 예에서 $t=2x+1$로 놓으면 $dt=2\,dx$이므로 $dx=\frac{1}{2}\,dt$이고, $x=0$일 때 $t=1$, $x=1$일 때 $t=3$이에요. 구간을 바꿔 두면 마지막에 $x$의 식으로 되돌릴 필요가 없어요.

예제

1. 01x=1일 때 t는?$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int_{0}^{1} (2x+2)^{3}dx, \\[6pt] \displaystyle t=2x+2 \end{gathered}$답닫기

   답$\displaystyle 4$

   풀이

   1. 위끝도 같은 식에 대입해요
   2. $\displaystyle t$$\displaystyle = 2x+2$$\displaystyle x=1$$\displaystyle \Rightarrow t = 4$
   3. 끝을 $x$의 값 그대로 두지 마세요. 이것을 잊는 것이 이 유형의 함정이에요
2. 02이 값은?$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{1}^{3} t^{3}\,dt$답닫기

   답$\displaystyle 10$

   풀이

   1. $t^{3}$을 적분하면 $\frac{t^{4}}{4}$이고, 위끝 값에서 아래끝 값을 뺀 뒤 앞의 $\frac{1}{2}$을 곱해요
   2. $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{3^{4}-1^{4}}{4}$$\displaystyle = 10$
   3. $\frac{1}{2}$을 잊으면 대신 20이 나와요
3. 03□에 들어갈 것은?$\displaystyle t=3x+2 \;\Rightarrow\; dx = \square\,dt$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1}{3}$

   풀이

   1. $t$를 $x$로 미분해요
   2. $\displaystyle t$$\displaystyle = 3x+2$$\displaystyle \frac{dt}{dx}$$\displaystyle = 3$
   3. 따라서 $dt = 3\,dx$이고, $dx$를 만들려면 $3$으로 나눠야 하므로 $\square$에는 $\frac{1}{3}$이 들어가요
4. 04x=0일 때 t는?$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int_{0}^{2} (3x+2)^{3}dx, \\[6pt] \displaystyle t=3x+2 \end{gathered}$답닫기

   답$\displaystyle 2$

   풀이

   1. 아래끝 값을 치환한 식에 그대로 대입해요
   2. $\displaystyle t$$\displaystyle = 3x+2$$\displaystyle x=0$$\displaystyle \Rightarrow t = 2$
   3. $x=0$이면 $3x$ 항이 사라지고 $2$만 남아요
5. 05x=1일 때 t는?$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \int_{0}^{1} (2x+3)^{3}dx, \\[6pt] \displaystyle t=2x+3 \end{gathered}$답닫기

   답$\displaystyle 5$

   풀이

   1. 위끝도 같은 식에 대입해요
   2. $\displaystyle t$$\displaystyle = 2x+3$$\displaystyle x=1$$\displaystyle \Rightarrow t = 5$
   3. 끝을 $x$의 값 그대로 두지 마세요. 이것을 잊는 것이 이 유형의 함정이에요
6. 06이 값은?$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{1}^{5} t^{3}\,dt$답닫기

   답$\displaystyle 78$

   풀이

   1. $t^{3}$을 적분하면 $\frac{t^{4}}{4}$이고, 위끝 값에서 아래끝 값을 뺀 뒤 앞의 $\frac{1}{2}$을 곱해요
   2. $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{5^{4}-1^{4}}{4}$$\displaystyle = 78$
   3. $\frac{1}{2}$을 잊으면 대신 156이 나와요

자주 묻는 질문

Q1치환한 뒤 $x$로 되돌려서 대입해야 하나요?답닫기

A

아니요. 구간을 $t$의 값으로 바꿨다면 $t$인 채로 계산해서 값을 구하면 돼요. 구간을 $x$인 채로 쓸 때만 $x$로 되돌려서 대입해요.

Q2새 구간에서 아래끝이 위끝보다 커지면 바꿔야 하나요?답닫기

A

바꾸지 않아요. $x$의 아래끝에 대응하는 값을 아래끝, 위끝에 대응하는 값을 위끝에 그대로 써요.