数III 微分

数列の極限

数列の極限は nn を限りなく大きくしたときに一般項が近づく先のことで、分数の形なら分母の最高次の項で分子と分母を割って求めます。

lim⁡n→∞1n=0,lim⁡n→∞rn=∞(r>1)\begin{gathered} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, \\[4pt] \lim_{n\to\infty}r^n=\infty\quad(r>1) \end{gathered}

n→∞n\to\infty のとき、1n\frac{1}{n} や 1n2\frac{1}{n^2} は 00 に近づきます。分数の形の数列は、分母の最高次の項で分子と分母を割るとこの形が現れ、極限が読めるようになります。

lim⁡n→∞2n2+n3n2−3=lim⁡n→∞2+1n3−3n2=23\begin{gathered} \lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+n}{3n^2-3} \\[4pt] =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{1}{n}}{3-\frac{3}{n^2}} \\[4pt] =\frac{2}{3} \end{gathered}

分子と分母の次数が同じなら、極限は最高次の係数の比になります。r>1r>1 のときの rnr^n のように限りなく大きくなる数列は、正の無限大に発散すると答えます。

例題

  1. 01この極限の値は？lim⁡n→∞2n2+n3n2−3\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-3}答え閉じる
    答え23\displaystyle \frac{2}{3}

    解き方

    1. 2n2+n3n2−3\displaystyle \frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-3}=2+1n3−3n2\displaystyle = \frac{2+\frac{1}{n}}{3-\frac{3}{n^{2}}}
    2. n を大きくすると余りの項が消える
    3. lim⁡n→∞2n2+n3n2−3\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-3}=23\displaystyle = \frac{2}{3}
  2. 02分子分母を n2n^2 で割るとこの式になった。n→∞n\to\infty での値は？4+3n2−4n2\displaystyle \frac{4+\frac{3}{n}}{2-\frac{4}{n^{2}}}答え閉じる
    答え2\displaystyle 2

    解き方

    1. 3n\displaystyle \frac{3}{n}→0\displaystyle \to 04n2\displaystyle \frac{4}{n^{2}}→0\displaystyle \to 0
    2. 残るのは係数だけ
    3. 4+02−0\displaystyle \frac{4+0}{2-0}=2\displaystyle = 2
  3. 03この極限は？lim⁡n→∞4n\displaystyle \lim_{n \to \infty} 4^{n}答え閉じる
    答え正の無限大に発散する\displaystyle 正の無限大に発散する

    解き方

    1. 43\displaystyle 4^{3}=64\displaystyle = 64
    2. 掛けるたびに大きくなる
    3. lim⁡n→∞4n\displaystyle \lim_{n \to \infty} 4^{n}=∞\displaystyle = \infty
  4. 04この極限の値は？lim⁡n→∞6n2+2n2n2−2\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{6n^{2}+2n}{2n^{2}-2}答え閉じる
    答え3\displaystyle 3

    解き方

    1. 6n2+2n2n2−2\displaystyle \frac{6n^{2}+2n}{2n^{2}-2}=6+2n2−2n2\displaystyle = \frac{6+\frac{2}{n}}{2-\frac{2}{n^{2}}}
    2. n を大きくすると余りの項が消える
    3. lim⁡n→∞6n2+2n2n2−2\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{6n^{2}+2n}{2n^{2}-2}=3\displaystyle = 3
  5. 05この極限の値は？lim⁡n→∞3n\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n}答え閉じる
    答え0\displaystyle 0

    解き方

    1. n=10\displaystyle n = 10⇒310\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{10}n=100\displaystyle n = 100⇒3100\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{100}
    2. 分子は 3 のまま、分母だけ大きくなる
    3. lim⁡n→∞3n\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n}=0\displaystyle = 0
  6. 06この極限の値は？lim⁡n→∞6n2+4n4n2−1\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{6n^{2}+4n}{4n^{2}-1}答え閉じる
    答え32\displaystyle \frac{3}{2}

    解き方

    1. 6n2+4n4n2−1\displaystyle \frac{6n^{2}+4n}{4n^{2}-1}=6+4n4−1n2\displaystyle = \frac{6+\frac{4}{n}}{4-\frac{1}{n^{2}}}
    2. n を大きくすると余りの項が消える
    3. lim⁡n→∞6n2+4n4n2−1\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{6n^{2}+4n}{4n^{2}-1}=32\displaystyle = \frac{3}{2}

よくある質問

Q1nn で割るか n2n^2 で割るかは、どう決める？答え閉じる
A
分母の最高次の項で割ります。6n+14n−4\frac{6n+1}{4n-4} なら nn で割って 6+1n4−4n\frac{6+\frac{1}{n}}{4-\frac{4}{n}} とし、64=32\frac{6}{4}=\frac{3}{2} に収束します。
Q2∞\infty に発散するとき、極限値は ∞\infty と言っていい？答え閉じる
A
∞\infty は数ではないので、極限値があるとは言いません。lim⁡n→∞an=∞\lim_{n\to\infty}a_n=\infty と書き、「正の無限大に発散する」と言います。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14