媒介変数表示の微分

$x$ と $y$ を別々に $t$ で微分し、$\frac{dy}{dt}$ を $\frac{dx}{dt}$ で割ります。答えは $t$ の式のままで構いません。

分子と分母を取り違えやすいので、$y$ の微分が上、$x$ の微分が下と確かめます。$\frac{dx}{dt}=0$ となる $t$ では、この式は使えません。

例題

1. 01dy/dx は？$\displaystyle x=t^3,\, y=t^2$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{2}{3t}$

   解き方

   1. $t$ で微分したものを2つ作る
   2. $\displaystyle \frac{dx}{dt}$$\displaystyle = 3t^{2}$$\displaystyle \frac{dy}{dt}$$\displaystyle = 2t$
   3. $y$ の方を上にして割る
   4. $\displaystyle \frac{dy}{dx}$$\displaystyle = \frac{2t}{3t^{2}} = \frac{2}{3t}$
2. 02dy/dx は？$\displaystyle x=t^2,\, y=t^3$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{3}{2}t$

   解き方

   1. $t$ で微分したものを2つ作る
   2. $\displaystyle \frac{dx}{dt}$$\displaystyle = 2t$$\displaystyle \frac{dy}{dt}$$\displaystyle = 3t^{2}$
   3. $y$ の方を上にして割る
   4. $\displaystyle \frac{dy}{dx}$$\displaystyle = \frac{3t^{2}}{2t} = \frac{3}{2}t$
3. 03dy/dx は？$\displaystyle x=t^{2}+1,\, y=t^{3}-3t$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{3t^{2}-3}{2t}$
4. 04dy/dx は？$\displaystyle x=\cos t,\, y=\sin t$答え閉じる

   答え$\displaystyle -\frac{\cos t}{\sin t}$
5. 05dy/dx は？$\displaystyle x=2t-1,\, y=t^{2}+4t$答え閉じる

   答え$\displaystyle t+2$

よくある質問

Q1答えを $x$ の式に直す必要はある？答え閉じる

A

ふつうは $t$ の式のままで答えます。特定の点での傾きが欲しいときは、その点に対応する $t$ の値を代入します。

Q2$\frac{dy}{dx}=\frac{dx/dt}{dy/dt}$ と逆にしてしまう答え閉じる

A

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\div\frac{dx}{dt}$ と考えると、$dt$ が約分される形になり、上下の向きを確かめられます。