수열의 극한

$n\to\infty$일 때 $\frac{1}{n}$과 $\frac{1}{n^2}$은 $0$에 가까워져요. 분수 꼴의 수열은 분모의 최고차항으로 분자와 분모를 나누면 이런 항이 나타나서 극한을 읽을 수 있어요.

분자와 분모의 차수가 같으면 극한은 최고차항의 계수의 비가 돼요. $r>1$일 때의 $r^n$처럼 한없이 커지는 수열은 양의 무한대로 발산한다고 답해요.

예제

1. 01이 극한값은?$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-3}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{2}{3}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-3}$$\displaystyle = \frac{2+\frac{1}{n}}{3-\frac{3}{n^{2}}}$
   2. n이 커지면 남은 항들은 사라져요
   3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{2}+n}{3n^{2}-3}$$\displaystyle = \frac{2}{3}$
2. 02분자와 분모를 $n^2$으로 나눈 식이에요. $n\to\infty$일 때의 값은?$\displaystyle \frac{4+\frac{3}{n}}{2-\frac{4}{n^{2}}}$답닫기

   답$\displaystyle 2$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{3}{n}$$\displaystyle \to 0$$\displaystyle \frac{4}{n^{2}}$$\displaystyle \to 0$
   2. 계수만 남아요
   3. $\displaystyle \frac{4+0}{2-0}$$\displaystyle = 2$
3. 03이 극한값은?$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{6n^{2}+2n}{2n^{2}-2}$답닫기

   답$\displaystyle 3$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{6n^{2}+2n}{2n^{2}-2}$$\displaystyle = \frac{6+\frac{2}{n}}{2-\frac{2}{n^{2}}}$
   2. n이 커지면 남은 항들은 사라져요
   3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{6n^{2}+2n}{2n^{2}-2}$$\displaystyle = 3$
4. 04이 극한값은?$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n}$답닫기

   답$\displaystyle 0$

   풀이

   1. $\displaystyle n = 10$$\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{10}$$\displaystyle n = 100$$\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{100}$
   2. 분자는 3 그대로이고 분모만 커져요
   3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n}$$\displaystyle = 0$
5. 05이 극한값은?$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{6n^{2}+4n}{4n^{2}-1}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{3}{2}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{6n^{2}+4n}{4n^{2}-1}$$\displaystyle = \frac{6+\frac{4}{n}}{4-\frac{1}{n^{2}}}$
   2. n이 커지면 남은 항들은 사라져요
   3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{6n^{2}+4n}{4n^{2}-1}$$\displaystyle = \frac{3}{2}$
6. 06이 극한값은?$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{2}+2n}{5n^{2}-1}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{2}{5}$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{2n^{2}+2n}{5n^{2}-1}$$\displaystyle = \frac{2+\frac{2}{n}}{5-\frac{1}{n^{2}}}$
   2. n이 커지면 남은 항들은 사라져요
   3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{2}+2n}{5n^{2}-1}$$\displaystyle = \frac{2}{5}$

자주 묻는 질문

Q1$n$으로 나눌지 $n^2$으로 나눌지는 어떻게 정하나요?답닫기

A

분모의 최고차항으로 나눠요. $\frac{6n+1}{4n-4}$라면 $n$으로 나누어 $\frac{6+\frac{1}{n}}{4-\frac{4}{n}}$으로 만들고, $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$에 수렴해요.

Q2$\infty$로 발산하면 극한값이 $\infty$라고 해도 되나요?답닫기

A

$\infty$는 수가 아니므로 극한값이 있다고 하지 않아요. $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$로 쓰고, 양의 무한대로 발산한다고 말해요.