매개변수로 나타낸 함수의 미분법

$x$와 $y$를 따로 $t$에 대하여 미분하고, $\frac{dy}{dt}$를 $\frac{dx}{dt}$로 나눠요. 답은 $t$에 대한 식 그대로 써도 돼요.

분자와 분모를 바꿔 쓰기 쉬우므로, $y$의 미분이 위, $x$의 미분이 아래인지 확인해요. $\frac{dx}{dt}=0$이 되는 $t$에서는 이 식을 쓸 수 없어요.

예제

1. 01dy/dx는?$\displaystyle x=t^3,\, y=t^2$답닫기

   답$\displaystyle \frac{2}{3t}$

   풀이

   1. $t$에 대해 미분한 것을 두 개 만들어요
   2. $\displaystyle \frac{dx}{dt}$$\displaystyle = 3t^{2}$$\displaystyle \frac{dy}{dt}$$\displaystyle = 2t$
   3. $y$ 쪽을 분자로 해서 나눠요
   4. $\displaystyle \frac{dy}{dx}$$\displaystyle = \frac{2t}{3t^{2}} = \frac{2}{3t}$
2. 02dy/dx는?$\displaystyle x=t^2,\, y=t^3$답닫기

   답$\displaystyle \frac{3}{2}t$

   풀이

   1. $t$에 대해 미분한 것을 두 개 만들어요
   2. $\displaystyle \frac{dx}{dt}$$\displaystyle = 2t$$\displaystyle \frac{dy}{dt}$$\displaystyle = 3t^{2}$
   3. $y$ 쪽을 분자로 해서 나눠요
   4. $\displaystyle \frac{dy}{dx}$$\displaystyle = \frac{3t^{2}}{2t} = \frac{3}{2}t$
3. 03dy/dx는?$\displaystyle x=t^{2}+1,\, y=t^{3}-3t$답닫기

   답$\displaystyle \frac{3t^{2}-3}{2t}$
4. 04dy/dx는?$\displaystyle x=\cos t,\, y=\sin t$답닫기

   답$\displaystyle -\frac{\cos t}{\sin t}$
5. 05dy/dx는?$\displaystyle x=2t-1,\, y=t^{2}+4t$답닫기

   답$\displaystyle t+2$

자주 묻는 질문

Q1답을 $x$에 대한 식으로 바꿔야 하나요?답닫기

A

보통은 $t$에 대한 식 그대로 답해요. 특정한 점에서의 기울기가 필요하면 그 점에 대응하는 $t$의 값을 대입해요.

Q2$\frac{dx/dt}{dy/dt}$로 거꾸로 쓰게 돼요.답닫기

A

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\div\frac{dx}{dt}$로 생각하면 $dt$가 약분되는 모양이 되어 위아래를 확인할 수 있어요.