凹凸と変曲点

$f''(x)>0$ の区間ではグラフは下に凸、$f''(x)<0$ の区間では上に凸です。$f''(x)$ は傾き $f'(x)$ の増え方を表すので、傾きが増えていく区間が下に凸になります。

凹凸が入れ替わる点が変曲点です。$f''(x)=0$ となる $x$ を求め、その前後で $f''(x)$ の符号が変わるかを確かめます。

この例では $x=4$ の前後で符号が変わるので、$x=4$ で変曲点になります。

例題

1. 01$x=4$ は変曲点？$\displaystyle f''(x)=6x-24$答え閉じる

   答え$\displaystyle 変曲点である（前後で符号が変わる）$
2. 02この第2次導関数をもつ関数の変曲点の x座標は？$\displaystyle f''(x)=6x+6$答え閉じる

   答え$\displaystyle -1$
3. 03f''(x) が正になる x の範囲は？$\displaystyle f''(x)=-6x+30$答え閉じる

   答え$\displaystyle x<5$
4. 04グラフが常に下に凸なのはどれ？$\displaystyle$答え閉じる

   答え$\displaystyle y=5x^2$
5. 05関数 f(x) の第2次導関数がこの式のとき、グラフが下に凸となる x の範囲は？$\displaystyle f''(x)=6x-6$答え閉じる

   答え$\displaystyle x>1$
6. 06この第2次導関数をもつ関数の変曲点の x座標は？$\displaystyle f''(x)=6x+36$答え閉じる

   答え$\displaystyle -6$

よくある質問

Q1$f''(x)=0$ の点は必ず変曲点？答えを見る閉じる

A

そうとは限りません。$f''(x)=3x^2$ なら $f''(0)=0$ ですが、$x=0$ の前後でどちらも $f''(x)>0$ なので凹凸は変わらず、変曲点ではありません。前後の符号まで確かめます。

Q2「下に凸」と「上に凸」はどう見分ける？答えを見る閉じる

A

下に凸は $y=x^2$ のように谷の形に曲がる向き、上に凸は $y=-x^2$ のように山の形に曲がる向きです。$f''(x)>0$ が下に凸に対応します。

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公開 2026-10-13 · 最終更新 2026-10-13