数IIIの関数の増減と概形

$y=x^n e^{-x}$ を積の微分法で微分すると、$e^{-x}$ をくくり出せます。

$e^{-x}>0$ なので、$y'$ の符号は $x^{n-1}(n-x)$ だけで決まります。たとえば $y=xe^{-x}$ では $y'=(1-x)e^{-x}$ が $x=1$ の前後で正から負に変わり、$x=1$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとります。

$\log x$ を含む関数は、まず定義域 $x>0$ を確かめます。$y=\frac{\log x}{x}$ なら $y'=\frac{1-\log x}{x^2}$ で、$x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとります。

例題

1. 01y'=0 となる x は？（0 以外）$\displaystyle y=x^{2}e^{-x},\; y'=x^{1}(2-x)e^{-x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2$
2. 02微分すると？$\displaystyle y=x^{3}e^{-x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle (3x^{2}-x^{3})e^{-x}$
3. 03定義域は？$\displaystyle y=x\log_e x$答え閉じる

   答え$\displaystyle x > 0$
4. 04y'=0 となる x は？$\displaystyle y=xe^{-x},\; y'=(1-x)e^{-x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$
5. 05x=1 の前後で y' の符号はどう変わる？$\displaystyle y=xe^{-x}, \quad y'=(1-x)e^{-x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 正から負（x=1 で極大）$
6. 06微分すると？$\displaystyle y=x^{2}e^{-x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle (2x-x^{2})e^{-x}$

よくある質問