無理関数のグラフ

$\sqrt{\ }$ の中は $0$ 以上でなければならないので、$y=\sqrt{2x-10}$ の定義域は $2x-10\ge 0$ から $x\ge 5$ です。$y=\sqrt{4-x}$ なら $4-x\ge 0$ で $x\le 4$ になり、不等号の向きが変わります。

$\sqrt{x}\ge 0$ なので、$y=a\sqrt{x}+q$ の値域は $a$ の符号で決まります。

たとえば $y=3\sqrt{x}+4$ の値域は $y\ge 4$、$y=-\sqrt{x}+2$ の値域は $y\le 2$ です。

例題

1. 01定義域が実数全体になるのはどれ？$\displaystyle$A$\displaystyle y=\sqrt{x^{2}+3}$B$\displaystyle y=\sqrt{x-2}$C$\displaystyle y=\sqrt{x}$D$\displaystyle y=\sqrt{x^{2}-3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle y=\sqrt{x^{2}+3}$

   解き方

   1. 中身がいつでも 0 以上になる形を探す
   2. $\displaystyle x^{2}+3$$\displaystyle \geq 3 > 0$
   3. 一方 $x^2-3$ は 0 に近い x で負になる
2. 02□ に入るのは？$\displaystyle y=\sqrt{2x-10} \;\Rightarrow\; x \geq \square$答え閉じる

   答え$\displaystyle 5$

   解き方

   1. √ の中身が 0 以上、が定義域の条件
   2. $\displaystyle 2x-10$$\displaystyle \geq 0$
   3. 2 で割る
   4. $\displaystyle x$$\displaystyle \geq 5$
3. 03定義域は？$\displaystyle y=\sqrt{4-x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle x \leq 4$

   解き方

   1. √ の中身が 0 以上、が定義域の条件
   2. $\displaystyle 4-x$$\displaystyle \geq 0$
   3. x を右辺へ移す
   4. $\displaystyle 4$$\displaystyle \geq x$
   5. 左右を入れ替えると、不等号の向きも入れ替わる
   6. $\displaystyle x$$\displaystyle \leq 4$
4. 04値域は？$\displaystyle y=3\sqrt{x}+4$答え閉じる

   答え$\displaystyle y \geq 4$

   解き方

   1. $\sqrt{x}$ は 0 以上
   2. $\displaystyle \sqrt{x}$$\displaystyle \geq 0$
   3. 何倍しても 0 以上。そこに 4 を足す
   4. $\displaystyle y$$\displaystyle \geq 4$
5. 05□ に入るのは？$\displaystyle y=\sqrt{3x-15} \;\Rightarrow\; x \geq \square$答え閉じる

   答え$\displaystyle 5$

   解き方

   1. √ の中身が 0 以上、が定義域の条件
   2. $\displaystyle 3x-15$$\displaystyle \geq 0$
   3. 3 で割る
   4. $\displaystyle x$$\displaystyle \geq 5$
6. 06値域は？$\displaystyle y=-\sqrt{x}+2$答え閉じる

   答え$\displaystyle y \leq 2$

   解き方

   1. $\sqrt{x}$ は 0 以上なので、前に負号が付くと 0 以下
   2. $\displaystyle -\sqrt{x}$$\displaystyle \leq 0$
   3. そこに 2 を足す
   4. $\displaystyle y$$\displaystyle \leq 2$

よくある質問