지수·로그함수의 증가, 감소와 그래프의 개형

$y=x^n e^{-x}$를 곱의 미분법으로 미분하면 $e^{-x}$로 묶을 수 있어요.

$e^{-x}>0$이므로 $y'$의 부호는 $x^{n-1}(n-x)$만으로 정해져요. 예를 들어 $y=xe^{-x}$에서는 $y'=(1-x)e^{-x}$가 $x=1$의 좌우에서 양에서 음으로 바뀌므로, $x=1$에서 극댓값 $\frac{1}{e}$를 가져요.

$\ln x$가 들어 있는 함수는 먼저 정의역 $x>0$을 확인해요. $y=\frac{\ln x}{x}$라면 $y'=\frac{1-\ln x}{x^2}$이고, $x=e$에서 극댓값 $\frac{1}{e}$를 가져요.

예제

1. 01y'=0이 되는 x의 값은? (0 제외)$\displaystyle y=x^{2}e^{-x},\; y'=x^{1}(2-x)e^{-x}$답닫기

   답$\displaystyle 2$
2. 02미분하면?$\displaystyle y=x^{3}e^{-x}$답닫기

   답$\displaystyle (3x^{2}-x^{3})e^{-x}$
3. 03정의역은?$\displaystyle y=x\ln x$답닫기

   답$\displaystyle x > 0$
4. 04y'=0이 되는 x의 값은?$\displaystyle y=xe^{-x},\; y'=(1-x)e^{-x}$답닫기

   답$\displaystyle 1$
5. 05미분하면?$\displaystyle y=x^{2}e^{-x}$답닫기

   답$\displaystyle (2x-x^{2})e^{-x}$
6. 06미분하면?$\displaystyle y=\frac{\ln x}{x}$답닫기

   답$\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^{2}}$

자주 묻는 질문