곡선의 오목과 볼록, 변곡점

$f''(x)>0$인 구간에서 곡선은 아래로 볼록하고, $f''(x)<0$인 구간에서 위로 볼록해요. $f''(x)$는 기울기 $f'(x)$의 변화를 나타내므로, 기울기가 커지는 구간이 아래로 볼록한 구간이에요.

볼록한 방향이 바뀌는 점이 변곡점이에요. $f''(x)=0$인 $x$를 구한 다음, 그 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌는지 확인해요.

이 예에서는 $x=4$의 좌우에서 부호가 바뀌므로 $x=4$에서 변곡점이 생겨요.

예제

1. 01이 이계도함수를 갖는 함수의 변곡점의 x좌표는?$\displaystyle f''(x)=6x+6$답닫기

   답$\displaystyle -1$
2. 02f''(x)가 양수가 되는 x의 값의 범위는?$\displaystyle f''(x)=-6x+30$답닫기

   답$\displaystyle x<5$
3. 03그래프가 항상 아래로 볼록한 것은?$\displaystyle$답닫기

   답$\displaystyle y=5x^2$
4. 04함수 f(x)의 이계도함수가 이 식일 때, 곡선 y=f(x)가 아래로 볼록한 x의 값의 범위는?$\displaystyle f''(x)=6x-6$답닫기

   답$\displaystyle x>1$
5. 05이 이계도함수를 갖는 함수의 변곡점의 x좌표는?$\displaystyle f''(x)=6x+36$답닫기

   답$\displaystyle -6$
6. 06f''(x)가 양수가 되는 x의 값의 범위는?$\displaystyle f''(x)=-6x+6$답닫기

   답$\displaystyle x<1$

자주 묻는 질문

Q1$f''(x)=0$인 점은 항상 변곡점인가요?답 보기닫기

A

꼭 그렇지는 않아요. $f''(x)=3x^2$이면 $f''(0)=0$이지만, $x=0$의 좌우에서 모두 $f''(x)>0$이라 볼록한 방향이 바뀌지 않으므로 변곡점이 아니에요. 좌우의 부호까지 확인해 보세요.

Q2아래로 볼록과 위로 볼록은 어떻게 구별하나요?답 보기닫기

A

아래로 볼록은 $y=x^2$처럼 골짜기 모양으로 휘는 것이고, 위로 볼록은 $y=-x^2$처럼 산 모양으로 휘는 거예요. $f''(x)>0$이면 아래로 볼록이에요.

이 유형을 앱에서 매일 5문제씩.

공개 2026-10-13 · 최종 수정 2026-10-13