0/0 型の極限

$x\to a$ で分母も分子も $0$ に近づくとき、分子は $x-a$ を因数にもちます(因数定理)。因数分解して約分すると、代入できる式になります。

3 次式は $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$、$x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)$ を使います。

例題

1. 01極限の値は？$\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^2+x-6}{x+3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle -5$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{x^{2}+x-6}{x+3}$$\displaystyle = \frac{(x+3)(x-2)}{x+3}$$\displaystyle = x-2$
   2. $x$ に $-3$ を入れる
   3. $\displaystyle (-3)-2$$\displaystyle = -5$
2. 02極限の値は？$\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^2+4x+3}{x+3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle -2$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{x^{2}+4x+3}{x+3}$$\displaystyle = \frac{(x+3)(x+1)}{x+3}$$\displaystyle = x+1$
   2. $x$ に $-3$ を入れる
   3. $\displaystyle (-3)+1$$\displaystyle = -2$
3. 03極限の値は？$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 12$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{x^{3}-8}{x-2}$$\displaystyle = \frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}$$\displaystyle = x^{2}+2x+4$
   2. $x$ に $2$ を入れる
   3. $\displaystyle 2^{2}+2\cdot2+4$$\displaystyle = 12$
4. 04極限の値は？$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{x^{2}-9}{x-3}$$\displaystyle = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$$\displaystyle = x+3$
   2. $x$ に $3$ を入れる
   3. $\displaystyle 3+3$$\displaystyle = 6$
5. 05極限の値は？$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^2-5x+6}{x-3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{x^{2}-5x+6}{x-3}$$\displaystyle = \frac{(x-3)(x-2)}{x-3}$$\displaystyle = x-2$
   2. $x$ に $3$ を入れる
   3. $\displaystyle 3-2$$\displaystyle = 1$
6. 06極限の値は？$\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^3+27}{x+3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 27$

   解き方

   1. $\displaystyle \frac{x^{3}+27}{x+3}$$\displaystyle = \frac{(x+3)(x^{2}-3x+9)}{x+3}$$\displaystyle = x^{2}-3x+9$
   2. $x$ に $-3$ を入れる
   3. $\displaystyle (-3)^{2}-3\cdot(-3)+9$$\displaystyle = 27$

よくある質問

Q1$x=a$ で $0$ になる $x-a$ で割ってよいの？答え閉じる

A

よいです。$x\to a$ の極限では $x$ は $a$ に近づくだけで $a$ に等しくはならないので、$x-a\ne0$ として約分できます。

Q2約分したあとはどうする？答え閉じる

A

残った式は多項式なので、$x=a$ を代入した値が極限です。たとえば $\frac{x^3-8}{x-2}=x^2+2x+4$ なので、$x\to2$ の極限は $4+4+4=12$ です。