0/0 꼴의 극한

$x\to a$일 때 분모와 분자가 모두 $0$에 가까워지면, 분자는 $x-a$를 인수로 가져요(인수정리). 인수분해해서 약분하면 대입할 수 있는 식이 돼요.

삼차식은 $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$, $x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)$을 써요.

예제

1. 01극한값은?$\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^2+x-6}{x+3}$답닫기

   답$\displaystyle -5$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{x^{2}+x-6}{x+3}$$\displaystyle = \frac{(x+3)(x-2)}{x+3}$$\displaystyle = x-2$
   2. $-3$을 대입해요
   3. $\displaystyle (-3)-2$$\displaystyle = -5$
2. 02극한값은?$\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^2+4x+3}{x+3}$답닫기

   답$\displaystyle -2$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{x^{2}+4x+3}{x+3}$$\displaystyle = \frac{(x+3)(x+1)}{x+3}$$\displaystyle = x+1$
   2. $-3$을 대입해요
   3. $\displaystyle (-3)+1$$\displaystyle = -2$
3. 03극한값은?$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}$답닫기

   답$\displaystyle 12$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{x^{3}-8}{x-2}$$\displaystyle = \frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}$$\displaystyle = x^{2}+2x+4$
   2. $2$를 대입해요
   3. $\displaystyle 2^{2}+2\cdot2+4$$\displaystyle = 12$
4. 04극한값은?$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$답닫기

   답$\displaystyle 6$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{x^{2}-9}{x-3}$$\displaystyle = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$$\displaystyle = x+3$
   2. $3$을 대입해요
   3. $\displaystyle 3+3$$\displaystyle = 6$
5. 05극한값은?$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^2-5x+6}{x-3}$답닫기

   답$\displaystyle 1$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{x^{2}-5x+6}{x-3}$$\displaystyle = \frac{(x-3)(x-2)}{x-3}$$\displaystyle = x-2$
   2. $3$을 대입해요
   3. $\displaystyle 3-2$$\displaystyle = 1$
6. 06극한값은?$\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{x^3+27}{x+3}$답닫기

   답$\displaystyle 27$

   풀이

   1. $\displaystyle \frac{x^{3}+27}{x+3}$$\displaystyle = \frac{(x+3)(x^{2}-3x+9)}{x+3}$$\displaystyle = x^{2}-3x+9$
   2. $-3$을 대입해요
   3. $\displaystyle (-3)^{2}-3\cdot(-3)+9$$\displaystyle = 27$

자주 묻는 질문

Q1$x=a$에서 $0$이 되는 $x-a$로 나눠도 되나요?답닫기

A

돼요. $x\to a$의 극한에서 $x$는 $a$에 한없이 가까워질 뿐 $a$와 같아지지는 않으므로, $x-a\ne0$으로 보고 약분할 수 있어요.

Q2약분한 다음에는 어떻게 하나요?답닫기

A

남은 식은 다항식이므로 $x=a$를 대입한 값이 극한값이에요. 예를 들어 $\frac{x^3-8}{x-2}=x^2+2x+4$이므로 $x\to2$일 때의 극한값은 $4+4+4=12$예요.