数III 微分

無限等比級数

初項 aa、公比 rr の無限等比級数は、∣r∣<1|r|<1 のとき収束して、和は a1−r\frac{a}{1-r} になります。

∑n=1∞arn−1=a1−r(∣r∣<1)\begin{gathered} \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} \\[4pt] =\frac{a}{1-r}\quad(|r|<1) \end{gathered}

無限級数の和は、部分和 SnS_n の n→∞n\to\infty の極限です。等比数列なら Sn=a(1−rn)1−rS_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} (r≠1)(r\ne1) で、∣r∣<1|r|<1 のとき rn→0r^n\to0 なので次が成り立ちます。

a+ar+ar2+⋯=a1−r(∣r∣<1)\begin{gathered} a+ar+ar^2+\cdots=\frac{a}{1-r} \\[4pt] (|r|<1) \end{gathered}

公比は 2 項目を 1 項目で割って求めます。3+1+13+⋯3+1+\frac{1}{3}+\cdots なら r=13r=\frac{1}{3} で、和は 31−13=92\frac{3}{1-\frac{1}{3}}=\frac{9}{2} です。

例題

  1. 01この級数の公比は？1+12+14+⋯\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots答え閉じる
    答え12\displaystyle \frac{1}{2}

    解き方

    1. となりどうしの比を見る
    2. 121\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{1}=12\displaystyle = \frac{1}{2}1412\displaystyle \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=12\displaystyle = \frac{1}{2}
  2. 02この無限等比級数の和は？a=6,r=13\displaystyle a=6, \quad r=\frac{1}{3}答え閉じる
    答え9\displaystyle 9

    解き方

    1. 1−13\displaystyle 1 - \frac{1}{3}=23\displaystyle = \frac{2}{3}
    2. 初項をこれで割る
    3. 623\displaystyle \frac{6}{\frac{2}{3}}=9\displaystyle = 9
  3. 03公比は 13\frac{1}{3} である。この無限等比級数の和は？3+1+13+⋯\displaystyle 3 + 1 + \frac{1}{3} + \cdots答え閉じる
    答え92\displaystyle \frac{9}{2}

    解き方

    1. 1−13\displaystyle 1 - \frac{1}{3}=23\displaystyle = \frac{2}{3}
    2. 初項をこれで割る
    3. 323\displaystyle \frac{3}{\frac{2}{3}}=92\displaystyle = \frac{9}{2}
  4. 04無限等比級数が収束するのはどれ？\displaystyle A公比 11B公比 −43-\frac{4}{3}C公比 43\frac{4}{3}D公比 13\frac{1}{3}答え閉じる
    答え公比 13\frac{1}{3}

    解き方

    1. 公比を何回も掛けるとどうなるか
    2. (13)3\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{3}=127\displaystyle = \frac{1}{27}
    3. 一方
    4. (43)3\displaystyle \left(\frac{4}{3}\right)^{3}=6427\displaystyle = \frac{64}{27}
    5. 大きくなる方は足し続けると発散する
  5. 05無限等比級数の和の公式。□ に入るのは？a1−□\displaystyle \frac{a}{1-\square}答え閉じる
    答え公比r\displaystyle 公比 r

    解き方

    1. S\displaystyle S=a+ar+ar2+⋯\displaystyle = a + ar + ar^{2} + \cdots
    2. 両辺に r を掛けて引くと、右辺は a だけ残る
    3. (1−r)S=a\displaystyle (1-r)S = a⇒S=a1−r\displaystyle \Rightarrow S = \frac{a}{1-r}
  6. 06この無限等比級数の和は？a=3,r=14\displaystyle a=3, \quad r=\frac{1}{4}答え閉じる
    答え4\displaystyle 4

    解き方

    1. 1−14\displaystyle 1 - \frac{1}{4}=34\displaystyle = \frac{3}{4}
    2. 初項をこれで割る
    3. 334\displaystyle \frac{3}{\frac{3}{4}}=4\displaystyle = 4

よくある質問

Q1∣r∣≥1|r|\ge1 のときはどうなる？答え閉じる
A
a≠0a\ne0 なら収束しません(発散します)。たとえば r=−1r=-1 では部分和が a, 0, a, 0, …a,\ 0,\ a,\ 0,\ \ldots と振動し、極限がありません。なお a=0a=0 ならどの rr でも和は 00 です。
Q2公比を見間違えないコツは？答え閉じる
A
隣り合う 2 項の比を計算します。1+12+14+⋯1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots なら 12÷1=12\frac{1}{2}\div1=\frac{1}{2} です。項どうしの差ではなく比を見ます。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14