対数微分法

$y=x^x$ $(x>0)$ は底にも指数にも $x$ があるので、$(x^n)'$ の公式も $(a^x)'$ の公式もそのままでは使えません。そこで両辺の対数をとります(例題の $\log_e$ は自然対数 $\log$ のことです)。

左辺 $\log y$ は合成関数の微分で $\frac{y'}{y}$ になります。最後に両辺に $y$ を掛け、$y$ を元の式に戻します。

例題

1. 01y' は？$\displaystyle \frac{y'}{y} = \log_e x + 1$答え閉じる

   答え$\displaystyle y(\log_e x + 1)$

   解き方

   1. 両辺に $y$ を掛けるだけ
   2. $y$ は元の関数そのもの。最後は $y=x^{x}$ のように書き戻す
2. 02底にも指数にも $x$ が入っていて、公式がそのまま使えないのはどれ？$\displaystyle$A$\displaystyle y=e^{x}$B$\displaystyle y=2^{x}$C$\displaystyle y=x^{2}$D$\displaystyle y=x^{x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle y=x^{x}$

   解き方

   1. $y=x^{x}$ だけ。底が $x$、指数も $x$ なので、べき則 ($x^{n}$) も指数関数 ($a^{x}$) も当たらない
   2. $e^{x}$ や $2^{x}$ は底が定数なので指数関数の公式で済む。$x^{2}$ は指数が定数なのでべき則で済む
3. 03正の値をとる関数 y=f(x) の両辺の対数をとって微分した。□ は？$\displaystyle (\log_e y)' = \square$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{y'}{y}$

   解き方

   1. $\log_e y$ は $y$ を通した合成関数。外側 $\log$ の微分が $\frac{1}{y}$、内側 $y$ の微分が $y'$
   2. 掛け合わせて $\frac{y'}{y}$。$y$ が $x$ の関数だから $y'$ が出る
4. 04右辺を微分すると？$\displaystyle \log_e y = x\log_e x$答え閉じる

   答え$\displaystyle \log_e x + 1$

   解き方

   1. 積の微分。$x$ の微分が 1、$\log_e x$ の微分が $\frac{1}{x}$
   2. $\displaystyle 1 \cdot \log_e x + x \cdot \frac{1}{x}$$\displaystyle = \log_e x + 1$
   3. 後ろの項で $x$ が約分されて 1 になる。これが $+1$ の正体
5. 05両辺の対数をとると $\log_e y$ は？$\displaystyle y=x^{3x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3x\log_e x$

   解き方

   1. 累乗の肩は $\log$ の前に降りる。$\log_e x^{3x} = 3x\log_e x$
   2. 足し算にしないこと。$x^{3x}$ は $x$ を $3x$ 個掛けたものなので、$\log$ は $3x$ 倍になる
6. 06両辺の対数をとると $\log_e y$ は？$\displaystyle y=x^{x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle x\log_e x$

   解き方

   1. 累乗の肩は $\log$ の前に降りる。$\log_e x^{x} = x\log_e x$
   2. 足し算にしないこと。$x^{x}$ は $x$ を $x$ 個掛けたものなので、$\log$ は $x$ 倍になる

よくある質問

Q1対数をとるとき何に気をつける？答え閉じる

A

真数が正であることです。$y=x^x$ は $x>0$ で考えるので $y>0$ で、そのまま $\log y$ をとれます。負の値もとりうる関数では $\log|y|$ をとります。

Q2$\frac{y'}{y}=\log x+1$ で終わりにしていい？答え閉じる

A

まだ途中です。両辺に $y$ を掛けて $y'=y(\log x+1)$ とし、$y=x^x$ を代入して $y'=x^x(\log x+1)$ まで書きます。