分数関数のグラフ

$y=\frac{k}{x}$ $(k\neq 0)$ のグラフは、$x$ 軸と $y$ 軸を漸近線とする双曲線です。これを平行移動したものが $y=\frac{k}{x-p}+q$ で、漸近線は $x=p$ と $y=q$、2 本の漸近線の交点 $(p,\ q)$ が双曲線の中心です。

$y=\frac{ax+b}{x-p}$ の形は、分子を分母で割って $\frac{k}{x-p}+q$ の形に直します。

この例では中心が $(1,\ 5)$ で、漸近線は $x=1$ と $y=5$ です。

例題

1. 01この双曲線の中心は？$\displaystyle y=\frac{3}{x-2}-5$答え閉じる

   答え$\displaystyle (2,\ -5)$

   解き方

   1. x−p が 0 になる所が中心の x
   2. $\displaystyle x-2 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 2$
   3. 足してある -5 が中心の y
2. 02垂直漸近線の x は？$\displaystyle y=\frac{4}{x-3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 3$

   解き方

   1. 分母が 0 になる x
   2. $\displaystyle x-3 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 3$
3. 03x=0 が垂直漸近線になるのはどれ？$\displaystyle$A$\displaystyle y=\frac{1}{x+4}$B$\displaystyle y=x$C$\displaystyle y=\frac{1}{x}$D$\displaystyle y=\frac{x}{x-3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle y=\frac{1}{x}$

   解き方

   1. 分母が 0 になる x を探す
   2. $\displaystyle x = 0$$\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{0}$
   3. 一方 $\frac{1}{x-3}$ が跳ねるのは $x=3$
4. 04□ に入るのは？$\displaystyle y=\frac{5x+2}{x-1} = \frac{k}{x-1}+\square$答え閉じる

   答え$\displaystyle 5$

   解き方

   1. 分子を「分母の倍数 + 余り」に分ける
   2. $\displaystyle 5x+2$$\displaystyle = 5(x-1)+7$
   3. だから
   4. $\displaystyle \frac{5x+2}{x-1}$$\displaystyle = 5 + \frac{7}{x-1}$
5. 05この双曲線の中心は？$\displaystyle y=\frac{3}{x-5}-1$答え閉じる

   答え$\displaystyle (5,\ -1)$

   解き方

   1. x−p が 0 になる所が中心の x
   2. $\displaystyle x-5 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 5$
   3. 足してある -1 が中心の y
6. 06この双曲線の中心は？$\displaystyle y=\frac{1}{x-4}-4$答え閉じる

   答え$\displaystyle (4,\ -4)$

   解き方

   1. x−p が 0 になる所が中心の x
   2. $\displaystyle x-4 = 0$$\displaystyle \Rightarrow x = 4$
   3. 足してある -4 が中心の y

よくある質問

Q1$y=\frac{1}{x+4}+4$ の中心は $(4,\ 4)$？答え閉じる

A

違います。$x+4=x-(-4)$ なので $p=-4$ で、中心は $(-4,\ 4)$ です。分母が $0$ になる $x$ が垂直漸近線、と考えると符号を間違えにくくなります。

Q2$y=\frac{5x+2}{x-1}$ の水平漸近線はどう見つける？答え閉じる

A

分子を分母で割って $\frac{7}{x-1}+5$ と直すと、定数の部分 $5$ から $y=5$ が水平漸近線と分かります。