数III 微分

sin x/x の極限

x→0x\to 0 のとき sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x}\to 1 で、この極限は sin⁡x\sin x の導関数を求めるときの土台になります。

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

sin⁡\sin の中身と分母をそろえるのがこつです。sin⁡3xx\frac{\sin 3x}{x} なら、分母を 3x3x に合わせるために3を外に出します。

sin⁡3xx=3×sin⁡3x3x → 3×1=3(x→0)\begin{gathered} \frac{\sin 3x}{x} \\[4pt] =3\times\frac{\sin 3x}{3x}\ \to\ 3\times 1 \\[4pt] =3\quad(x\to 0) \end{gathered}

一般に a≠0a\neq 0、b≠0b\neq 0 のとき lim⁡x→0sin⁡axbx=ab\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b} です。この公式は角を弧度法(ラジアン)で測るときに成り立ちます。

例題

  1. 01□ に入るのは？sin⁡5xx=5×sin⁡5x□\displaystyle \frac{\sin 5x}{x} = 5 \times \frac{\sin 5x}{\square}答え閉じる
    答え5x\displaystyle 5x

    解き方

    1. 角度と分母を同じにすると、公式がそのまま使える
    2. 5×sin⁡5x5x\displaystyle 5 \times \frac{\sin 5x}{5x}=sin⁡5xx\displaystyle = \frac{\sin 5x}{x}
  2. 02この極限の値は？lim⁡x→0sin⁡3xx\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}答え閉じる
    答え3\displaystyle 3

    解き方

    1. 分母を角度に揃える
    2. sin⁡3xx\displaystyle \frac{\sin 3x}{x}=3×sin⁡3x3x\displaystyle = 3 \times \frac{\sin 3x}{3x}
    3. 後ろは 1 に近づくので
    4. 3×1\displaystyle 3 \times 1=3\displaystyle = 3
  3. 03この極限の値は？lim⁡x→0sin⁡4x5x\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{5x}答え閉じる
    答え45\displaystyle \frac{4}{5}

    解き方

    1. 分母を角度に揃える
    2. sin⁡4x5x\displaystyle \frac{\sin 4x}{5x}=45×sin⁡4x4x\displaystyle = \frac{4}{5} \times \frac{\sin 4x}{4x}
    3. 後ろは 1 に近づくので
    4. 45×1\displaystyle \frac{4}{5} \times 1=45\displaystyle = \frac{4}{5}
  4. 04この極限の値は？lim⁡x→0sin⁡2x6x\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{6x}答え閉じる
    答え13\displaystyle \frac{1}{3}

    解き方

    1. 分母を角度に揃える
    2. sin⁡2x6x\displaystyle \frac{\sin 2x}{6x}=13×sin⁡2x2x\displaystyle = \frac{1}{3} \times \frac{\sin 2x}{2x}
    3. 後ろは 1 に近づくので
    4. 13×1\displaystyle \frac{1}{3} \times 1=13\displaystyle = \frac{1}{3}
  5. 05この極限の値は？lim⁡x→0sin⁡3x5x\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{5x}答え閉じる
    答え35\displaystyle \frac{3}{5}

    解き方

    1. 分母を角度に揃える
    2. sin⁡3x5x\displaystyle \frac{\sin 3x}{5x}=35×sin⁡3x3x\displaystyle = \frac{3}{5} \times \frac{\sin 3x}{3x}
    3. 後ろは 1 に近づくので
    4. 35×1\displaystyle \frac{3}{5} \times 1=35\displaystyle = \frac{3}{5}
  6. 06□ に入るのは？sin⁡2xx=2×sin⁡2x□\displaystyle \frac{\sin 2x}{x} = 2 \times \frac{\sin 2x}{\square}答え閉じる
    答え2x\displaystyle 2x

    解き方

    1. 角度と分母を同じにすると、公式がそのまま使える
    2. 2×sin⁡2x2x\displaystyle 2 \times \frac{\sin 2x}{2x}=sin⁡2xx\displaystyle = \frac{\sin 2x}{x}

よくある質問

Q1lim⁡x→0sin⁡3xx\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x} も 1 では？答え閉じる
A
1 になるのは、sin⁡\sin の中身と分母が同じ形のときです。sin⁡3xx=3×sin⁡3x3x\frac{\sin 3x}{x}=3\times\frac{\sin 3x}{3x} と直すと、極限は 3 です。
Q2なぜラジアンでないといけない？答え閉じる
A
度数法で測ると lim⁡x→0sin⁡x∘x=π180\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^\circ}{x}=\frac{\pi}{180} となり、1 になりません。(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x が成り立つのもラジアンのときです。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14