数III 微分

法線

曲線上の点で接線に垂直な直線が法線で、f′(a)≠0f'(a)\ne 0 のときその傾きは −1f′(a)-\frac{1}{f'(a)} です。

y−f(a)=−1f′(a)(x−a)(f′(a)≠0)\begin{gathered} y-f(a) \\[4pt] =-\frac{1}{f'(a)}(x-a)\quad(f'(a)\ne 0) \end{gathered}

垂直な2直線の傾きの積は −1-1 です。接線の傾きが f′(a)f'(a) なので、法線の傾き mm は f′(a)⋅m=−1f'(a)\cdot m=-1 から m=−1f′(a)m=-\frac{1}{f'(a)} になります。

y−f(a)=−1f′(a)(x−a)y-f(a)=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)

たとえば y=x2y=x^2 の x=2x=2 では f′(2)=4f'(2)=4 なので、法線の傾きは −14-\frac{1}{4} です。接線の傾きの絶対値が小さいほど、法線の傾きの絶対値は大きくなります。

例題

  1. 01この点での法線の傾きは？f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3答え閉じる
    答え−13\displaystyle -\frac{1}{3}

    解き方

    1. 垂直な2直線は、傾きの積が -1
    2. 3×(−13)\displaystyle 3 \times \left(-\frac{1}{3}\right)=−1\displaystyle = -1
    3. 符号を落とすと積が +1 になってしまう
    4. 3×(13)\displaystyle 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)=1\displaystyle = 1
  2. 02x=4 での法線の傾きは？f′(4)=3\displaystyle f'(4)=3答え閉じる
    答え−13\displaystyle -\frac{1}{3}

    解き方

    1. 垂直な2直線は、傾きの積が -1
    2. 3×(−13)\displaystyle 3 \times \left(-\frac{1}{3}\right)=−1\displaystyle = -1
  3. 03x=3x=3 での法線。□ は？y=x2  ⇒  y=□(x−3)+9\displaystyle y=x^{2} \;\Rightarrow\; y = \square(x-3)+9答え閉じる
    答え−16\displaystyle -\frac{1}{6}

    解き方

    1. まず接線の傾き
    2. y′(3)\displaystyle y'(3)=6\displaystyle = 6
    3. 法線は -1 ÷ 接線の傾き
    4. 6×(−16)\displaystyle 6 \times \left(-\frac{1}{6}\right)=−1\displaystyle = -1
  4. 04接線の傾きの絶対値が小さいほど、法線の傾きの絶対値は？\displaystyle A変わらない\displaystyle 変わらないB小さくなる\displaystyle 小さくなるC接線と同じ値になる\displaystyle 接線と同じ値になるD大きくなる\displaystyle 大きくなる答え閉じる
    答え大きくなる\displaystyle 大きくなる

    解き方

    1. 接線の傾きが 2 のとき
    2. −12\displaystyle \frac{-1}{2}=−0.5\displaystyle = -0.5
    3. 接線の傾きが 0.5 のとき
    4. −10.5\displaystyle \frac{-1}{0.5}=−2\displaystyle = -2
    5. 接線が緩いほど、法線は急になる
  5. 05この点での法線の傾きは？f′(a)=5\displaystyle f'(a)=5答え閉じる
    答え−15\displaystyle -\frac{1}{5}

    解き方

    1. 垂直な2直線は、傾きの積が -1
    2. 5×(−15)\displaystyle 5 \times \left(-\frac{1}{5}\right)=−1\displaystyle = -1
    3. 符号を落とすと積が +1 になってしまう
    4. 5×(15)\displaystyle 5 \times \left(\frac{1}{5}\right)=1\displaystyle = 1
  6. 06この点での法線の傾きは？f′(a)=4\displaystyle f'(a)=4答え閉じる
    答え−14\displaystyle -\frac{1}{4}

    解き方

    1. 垂直な2直線は、傾きの積が -1
    2. 4×(−14)\displaystyle 4 \times \left(-\frac{1}{4}\right)=−1\displaystyle = -1
    3. 符号を落とすと積が +1 になってしまう
    4. 4×(14)\displaystyle 4 \times \left(\frac{1}{4}\right)=1\displaystyle = 1

よくある質問

Q1f′(a)=0f'(a)=0 のとき、法線はどうなる？答え閉じる
A
接線が xx 軸に平行な直線 y=f(a)y=f(a) になるので、法線は yy 軸に平行な直線 x=ax=a です。傾きは定まらないので、−1f′(a)-\frac{1}{f'(a)} の公式は使えません。
Q2符号を変えるだけ、逆数にするだけではだめ？答え閉じる
A
両方が必要です。f′(a)=−2f'(a)=-2 なら、逆数 −12-\frac{1}{2} の符号を変えた 12\frac{1}{2} が法線の傾きです。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14