速度・加速度

位置 $x(t)$ を $t$ で 1 回微分すると速度 $v$、2 回微分すると加速度 $a$ になります。

たとえば $x(t)=t^3-12t$ なら $v=3t^2-12$、$a=6t$ です。$v=0$ となる $t=2$ ($t>0$ の方)で点は向きを変えます。ある時刻の速度は、$v(t)$ を求めてから $t$ の値を代入します。

例題

1. 01t=1 での速度は？$\displaystyle x(t)=t^{2}-2t$答え閉じる

   答え$\displaystyle 0$

   解き方

   1. まず微分して速度の式にする
   2. $\displaystyle v$$\displaystyle = 2t-2$
   3. そこに t = 1 を入れる
   4. $\displaystyle 2 \cdot 1 -2$$\displaystyle = 0$
2. 02速度 v は？$\displaystyle x(t)=t^{2}-3t$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2t-3$

   解き方

   1. 項ごとに微分する
   2. $\displaystyle t^{2}$$\displaystyle \to 2t$$\displaystyle -3t$$\displaystyle \to -3$
3. 03加速度 a は？$\displaystyle v(t)=9t^{2}-4$答え閉じる

   答え$\displaystyle 18t$

   解き方

   1. 項ごとに微分する
   2. $\displaystyle 9t^{2}$$\displaystyle \to 18t$$\displaystyle -4$$\displaystyle \to 0$
4. 04速度が 0 になる時刻 t は？（正の方）$\displaystyle x(t)=t^{3}-12t,\; v(t)=3t^{2}-12$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2$

   解き方

   1. $\displaystyle 3t^{2}-12 = 0$$\displaystyle \Rightarrow t^{2} = 4$
   2. 時刻なので正の方をとる
   3. $\displaystyle t$$\displaystyle = 2$
5. 05位置から加速度を求めるには、何回微分する？$\displaystyle$A$\displaystyle 1回$B$\displaystyle 3回$C$\displaystyle 2回$D$\displaystyle 微分しない$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2回$

   解き方

   1. 矢印を2本たどる。1段ずつ微分する
   2. $\displaystyle t^{2}$$\displaystyle \to 2t$$\displaystyle 2t$$\displaystyle \to 2$
6. 06速度 v は？$\displaystyle x(t)=t^{2}-5t$答え閉じる

   答え$\displaystyle 2t-5$

   解き方

   1. 項ごとに微分する
   2. $\displaystyle t^{2}$$\displaystyle \to 2t$$\displaystyle -5t$$\displaystyle \to -5$

よくある質問

Q1速度と速さの違いは？答え閉じる

A

速度は向きを含み、負の値もとります。速さは速度の絶対値 $|v|$ です。$v=-3$ なら負の向きに速さ 3 で動いています。

Q2加速度が正なら速くなっている？答え閉じる

A

そうとは限りません。速さが増すのは $v$ と $a$ が同じ符号のときです。$v<0$、$a>0$ なら速さは減っています。