関数の連続性(左極限と右極限)

左極限 $\lim_{x\to a-0}f(x)$ は $x$ を $a$ より小さい側から近づけたときの値、右極限 $\lim_{x\to a+0}f(x)$ は大きい側から近づけたときの値です。場合分けされた関数では、$x<a$ の式で左極限を、$x\ge a$ の式で右極限を計算します。

この3つがそろえば $x=a$ で連続です。たとえば $x<4$ で $2x$、$x\ge 4$ で $x+a$ という関数なら、左極限 $8$ と右極限 $4+a$ が等しくなる $a=4$ のとき $x=4$ で連続になります。

例題

1. 01x=1 での左極限は？$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 4x & (x<1) \\ x+2 & (x \geq 1) \end{cases}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4$

   解き方

   1. 左から近づくので x<1 の式を使う
   2. $\displaystyle 4 \cdot 1$$\displaystyle = 4$
2. 02x=4 で連続になる a は？$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2x & (x<4) \\ x+a & (x \geq 4) \end{cases}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4$

   解き方

   1. 左からの値
   2. $\displaystyle 2 \cdot 4$$\displaystyle = 8$
   3. 右からの値
   4. $\displaystyle 4+a$
   5. この2つが等しい、が連続の条件
   6. $\displaystyle 4+a = 8$$\displaystyle \Rightarrow a = 4$
3. 03x=4 での右極限は？$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 3x & (x<4) \\ x+2 & (x \geq 4) \end{cases}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 6$

   解き方

   1. 右から近づくので x≥4 の式を使う
   2. $\displaystyle 4+2$$\displaystyle = 6$
   3. 左からだと別の式で 12 になる
4. 04これだけで x=a で連続と言えるのはどれ？$\displaystyle$A$\displaystyle 左極限と右極限が一致し、f(a) が存在する$B$\displaystyle 左極限・右極限・f(a) の3つが一致する$C$\displaystyle 左極限と右極限が一致する$D$\displaystyle f(a) と左極限が一致する$答え閉じる

   答え$\displaystyle 左極限・右極限・f(a) の3つが一致する$

   解き方

   1. x≠0 では x、ただし f(0)=5 という関数を考える
   2. $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$$\displaystyle = 0$$\displaystyle f(0)$$\displaystyle = 5$
   3. 極限は揃っているのに、その点で飛んでいる
5. 05x=2 での左極限は？$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 4x & (x<2) \\ x-2 & (x \geq 2) \end{cases}$答え閉じる

   答え$\displaystyle 8$

   解き方

   1. 左から近づくので x<2 の式を使う
   2. $\displaystyle 4 \cdot 2$$\displaystyle = 8$
6. 06x=1 での右極限は？$\displaystyle f(x)=\begin{cases} 3x & (x<1) \\ x-2 & (x \geq 1) \end{cases}$答え閉じる

   答え$\displaystyle -1$

   解き方

   1. 右から近づくので x≥1 の式を使う
   2. $\displaystyle 1-2$$\displaystyle = -1$
   3. 左からだと別の式で 3 になる

よくある質問

Q1左極限と右極限が一致すれば連続？答え閉じる

A

それだけでは足りません。極限の値が $f(a)$ とも一致する必要があります。たとえば $x\ne 1$ で $f(x)=x$、$f(1)=3$ と定めた関数は、左右の極限がどちらも $1$ ですが $f(1)=3$ なので、$x=1$ で連続ではありません。

Q2$f(a)$ はどちらの式で計算する？答え閉じる

A

等号の付いている側の式です。$x\ge a$ の式に等号があれば、その式に $x=a$ を代入します。このとき右極限と $f(a)$ は同じ値になるので、左極限がそれと等しいかを確かめれば連続かどうかが分かります。