1/x と √x の微分

$(x^n)'=nx^{n-1}$ は、指数 $n$ が負の数や分数でも成り立ちます。$\frac{1}{x}=x^{-1}$ なら $-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$、$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ なら $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ です。

中身が $ax+b$ のときは、合成関数の微分で中身の微分 $a$ を掛けます。

たとえば $\left(\sqrt{4x+5}\right)'=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}$ で、約分できるときは約分します。

例題

1. 01微分せよ$\displaystyle \frac{d}{dx} \frac{1}{x}$答え閉じる

   答え$\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
2. 02微分せよ$\displaystyle \frac{d}{dx} \sqrt{5x + 1}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{5x + 1}}$
3. 03微分せよ$\displaystyle \frac{d}{dx} \sqrt{4x + 5}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4x + 5}}$
4. 04微分せよ$\displaystyle \frac{d}{dx} \sqrt{2x + 3}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x + 3}}$
5. 05微分せよ$\displaystyle \frac{d}{dx} \sqrt{x + 6}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x + 6}}$
6. 06微分せよ$\displaystyle \frac{d}{dx} \sqrt{2x + 6}$答え閉じる

   答え$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2x + 6}}$

よくある質問

Q1$\sqrt{5x+1}$ の微分で $\frac{1}{2\sqrt{5x+1}}$ としたら違った。なぜ？答え閉じる

A

中身 $5x+1$ の微分 $5$ を掛け忘れています。正しくは $\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}$ です。

Q2$\frac{1}{x}$ の微分はなぜマイナスになる？答え閉じる

A

$\frac{1}{x}=x^{-1}$ なので、指数の $-1$ が前に出て $-x^{-2}$ になります。グラフで見ても、$x>0$ でも $x<0$ でも右に進むほど下がる(傾きが負)形です。