数III 微分

逆関数の意味

逆関数 f−1f^{-1} は、関数 ff の入力と出力を入れかえて、出力から元の入力に戻す関数です。

f(a)=b  ⟺  f−1(b)=af(a)=b\iff f^{-1}(b)=a

f(9)=7f(9)=7 なら、f−1f^{-1} は 77 を 99 に戻すので f−1(7)=9f^{-1}(7)=9 です。f−1(f(a))=af^{-1}(f(a))=a となり、ff をしてから f−1f^{-1} をすると元に戻ります。

y=x2y=x^2 (x≥0)(x\ge 0) と y=xy=\sqrt{x} は互いに逆関数です。2 乗してから  \sqrt{\ } をとると元の数に戻ります。

a2=a(a≥0)\sqrt{a^2}=a\qquad(a\ge 0)

y=f(x)y=f(x) と y=f−1(x)y=f^{-1}(x) のグラフは、直線 y=xy=x に関して対称です。

例題

  1. 01f(9) = 7 のとき、逆関数の値は？f−1(7)\displaystyle f^{-1}(7)答え閉じる
    答え9\displaystyle 9

    解き方

    1. ff が 9 を 7 に送るので、f−1f^{-1} は 7 を 9 に戻す
    2. f(9)\displaystyle f(9)=7\displaystyle = 7f−1(7)\displaystyle f^{-1}(7)=9\displaystyle = 9
  2. 022乗してルート＝元どおり。値は？42\displaystyle \sqrt{4^2}答え閉じる
    答え4\displaystyle 4
  3. 03f(4) = 2 のとき、逆関数の値は？f−1(2)\displaystyle f^{-1}(2)答え閉じる
    答え4\displaystyle 4

    解き方

    1. ff が 4 を 2 に送るので、f−1f^{-1} は 2 を 4 に戻す
    2. f(4)\displaystyle f(4)=2\displaystyle = 2f−1(2)\displaystyle f^{-1}(2)=4\displaystyle = 4
  4. 04f(7) = 3 のとき、逆関数の値は？f−1(3)\displaystyle f^{-1}(3)答え閉じる
    答え7\displaystyle 7

    解き方

    1. ff が 7 を 3 に送るので、f−1f^{-1} は 3 を 7 に戻す
    2. f(7)\displaystyle f(7)=3\displaystyle = 3f−1(3)\displaystyle f^{-1}(3)=7\displaystyle = 7
  5. 05f(9) = 4 のとき、逆関数の値は？f−1(4)\displaystyle f^{-1}(4)答え閉じる
    答え9\displaystyle 9

    解き方

    1. ff が 9 を 4 に送るので、f−1f^{-1} は 4 を 9 に戻す
    2. f(9)\displaystyle f(9)=4\displaystyle = 4f−1(4)\displaystyle f^{-1}(4)=9\displaystyle = 9
  6. 06f(6) = 5 のとき、逆関数の値は？f−1(5)\displaystyle f^{-1}(5)答え閉じる
    答え6\displaystyle 6

    解き方

    1. ff が 6 を 5 に送るので、f−1f^{-1} は 5 を 6 に戻す
    2. f(6)\displaystyle f(6)=5\displaystyle = 5f−1(5)\displaystyle f^{-1}(5)=6\displaystyle = 6

よくある質問

Q1f−1(x)f^{-1}(x) は 1f(x)\frac{1}{f(x)} のこと？答え閉じる
A
違います。f−1f^{-1} の −1-1 は逆数ではなく逆関数を表す記号です。f(4)=2f(4)=2 のとき f−1(2)=4f^{-1}(2)=4 で、12\frac{1}{2} ではありません。
Q2(−3)2\sqrt{(-3)^2} は −3-3 にならないの？答え閉じる
A
なりません。9=3\sqrt{9}=3 です。 \sqrt{\ } は 00 以上の値を返すので、a2=a\sqrt{a^2}=a が成り立つのは a≥0a\ge 0 のときで、一般には a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a| です。

公開 2026-10-14 · 最終更新 2026-10-14