一次近似式

$x=a$ の近くでは、曲線 $y=f(x)$ は点 $(a,\ f(a))$ での接線とほぼ重なります。接線の式で値を見積もるのが一次近似です。

たとえば $f(x)=\sqrt{x}$、$a=4$、$h=0.1$ なら $f'(4)=\frac{1}{4}$ なので $\sqrt{4.1}\approx 2+\frac{1}{4}\cdot 0.1=2.025$ です(真の値は $2.0248\cdots$)。$x$ で書くと $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ で、これは接線の式そのものです。

例題

1. 01増加量 f(4+h) − f(4) を近似すると？$\displaystyle f(x)=x^{3}, \quad x=4$答え閉じる

   答え$\displaystyle 48h$

   解き方

   1. 増える量は 傾き × h
   2. $\displaystyle f'(x)$$\displaystyle = 3x^{2}$$\displaystyle f'(4)$$\displaystyle = 48$
   3. だから
   4. $\displaystyle f(4+h)-f(4)$$\displaystyle \approx 48h$
2. 02一次近似の式 f(3)+f'(3)h に h=0.1 を入れると？$\displaystyle f(3)=9, \quad f'(3)=6$答え閉じる

   答え$\displaystyle 9.6$

   解き方

   1. f(3) は出発点の高さ、f'(3)×0.1 は接線で上がるぶん
   2. $\displaystyle 9 + 6 \times 0.1$$\displaystyle = 9.6$
3. 03この点における一次近似の式は？$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}, \quad x=1$答え閉じる

   答え$\displaystyle 1+\frac{1}{2}(x-1)$

   解き方

   1. 接点での値
   2. $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle = 1$
   3. そこでの傾き
   4. $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1}}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$
   5. 接線の式にそのまま入れる
   6. $\displaystyle y$$\displaystyle = 1+\frac{1}{2}(x-1)$
4. 04□ に入るのは？$\displaystyle f(a+h) \approx f(a) + \square$答え閉じる

   答え$\displaystyle f'(a)h$

   解き方

   1. 接線の上では、上がる量は 傾き × 進んだ量
   2. $\displaystyle f(a+h)$$\displaystyle \approx f(a) + f'(a)h$
   3. h を落とすと、いくら進んでも同じだけ上がることになる
5. 05一次近似の式 f(5)+f'(5)h に h=0.1 を入れると？$\displaystyle f(5)=25, \quad f'(5)=10$答え閉じる

   答え$\displaystyle 26.0$

   解き方

   1. f(5) は出発点の高さ、f'(5)×0.1 は接線で上がるぶん
   2. $\displaystyle 25 + 10 \times 0.1$$\displaystyle = 26.0$
6. 06h を大きくすると、この近似の誤差は？$\displaystyle f(x)=x^{2},\; f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$答え閉じる

   答え$\displaystyle 大きくなる$

   解き方

   1. f(x)=x² なら、誤差はそのまま計算できる
   2. $\displaystyle (a+h)^{2} - (a^{2}+2ah)$$\displaystyle = h^{2}$
   3. h が大きいほど h² も大きい

よくある質問

Q1どのくらい正確？答え閉じる

A

$h$ が小さいほど誤差は小さくなり、$h$ を大きくすると誤差は大きくなります。たとえば $f(x)=x^2$ では $f(a+h)-\{f(a)+f'(a)h\}=h^2$ なので、誤差は $h^2$ です。

Q2増加量 $f(a+h)-f(a)$ だけを近似するには？答え閉じる

A

$f(a)$ を移項して $f(a+h)-f(a)\approx f'(a)h$ です。$f(x)=x^3$、$a=4$ なら $f'(4)=48$ なので $48h$ になります。