平均値の定理

$f(x)$ が閉区間 $[a,\ b]$ で連続、開区間 $(a,\ b)$ で微分可能なら、次を満たす $c$ が存在します。

左辺は 2 点を結ぶ直線の傾き(平均変化率)、右辺は $x=c$ での接線の傾きです。$f(x)=x^2$ の $[1,\ 3]$ なら平均変化率は $\frac{9-1}{3-1}=4$ で、$f'(c)=2c=4$ から $c=2$ です。

例題

1. 01この区間での平均変化率は？$\displaystyle f(x)=x^{2}, \quad [1,\ 3]$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4$

   解き方

   1. 両端の高さの差を、区間の幅で割る
   2. $\displaystyle \frac{9-1}{3-1}$$\displaystyle = 4$
2. 02□ に入るのは？$\displaystyle f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{\square}$答え閉じる

   答え$\displaystyle b-a$

   解き方

   1. 平均変化率は 高さの差 ÷ 区間の幅
   2. $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
   3. $a-b$ にすると幅が負になり、傾きの符号が逆になる
3. 03この $c$ は？$\displaystyle f(x)=x^{2}, \quad f'(c)=8$答え閉じる

   答え$\displaystyle 4$

   解き方

   1. $f(x)=x^2$ を微分すると $2x$。$x=c$ を入れて等号で結ぶ
   2. $\displaystyle 2c = 8$$\displaystyle \Rightarrow c = 4$
4. 04平均値の定理より、この $c$ が存在する。$c$ が満たす式は？$\displaystyle \begin{gathered} \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 5, \\[6pt] \displaystyle a<c<b \end{gathered}$答え閉じる

   答え$\displaystyle f'(c)=5$
5. 05この区間での平均変化率は？$\displaystyle f(x)=x^{2}, \quad [2,\ 5]$答え閉じる

   答え$\displaystyle 7$

   解き方

   1. 両端の高さの差を、区間の幅で割る
   2. $\displaystyle \frac{25-4}{5-2}$$\displaystyle = 7$
6. 06平均値の定理が使えないのはどれ？$\displaystyle$A$f(x)=\frac{1}{x}$ の区間 $[1,\ 2]$B$f(x)=\tan x$ の区間 $[0,\ \pi]$C$f(x)=x^{3}$ の区間 $[-1,\ 1]$D$f(x)=2x$ の区間 $[0,\ 5]$答え閉じる

   答え$f(x)=\tan x$ の区間 $[0,\ \pi]$

   解き方

   1. 区間の中で切れているか、折れているかを見る
   2. $\tan x$ は $x=\frac{\pi}{2}$ で切れる。区間 $[0,\ \pi]$ はそこをまたぐ
   3. 式の形では決まらない。同じ $\frac{1}{x}$ でも $[1,\ 2]$ なら使える

よくある質問

Q1$f(x)=x^2$ のとき $c$ はどこになる？答え閉じる

A

平均変化率は $\frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b$ で、$f'(c)=2c$ なので $c=\frac{a+b}{2}$、つまり区間の真ん中です。2 次関数ならいつもこうなります。

Q2定理が使えないのはどんなとき？答え閉じる

A

区間の途中で連続でない、または微分できない点があるときです。$\tan x$ は $x=\frac{\pi}{2}$ で定義されないので、$[0,\ \pi]$ では使えません。