陰関数の微分

$y$ は $x$ の関数なので、$y$ を含む項を $x$ で微分すると合成関数の微分で $y'$ が掛かります。たとえば $\frac{d}{dx}y^2=2y\,y'$ です。

$xy=2$ のような積は積の微分法を使い、$y+x\,y'=0$ から $y'=-\frac{y}{x}$ となります。

例題

1. 01y' は？$\displaystyle x^2+2y^2=4$答え閉じる

   答え$\displaystyle -\frac{x}{2y}$
2. 02y' は？$\displaystyle x^2+y^2=4$答え閉じる

   答え$\displaystyle -\frac{x}{y}$
3. 03y' は？$\displaystyle x^2+y^2=1$答え閉じる

   答え$\displaystyle -\frac{x}{y}$
4. 04y' は？$\displaystyle x^2+3y^2=6$答え閉じる

   答え$\displaystyle -\frac{x}{3y}$
5. 05y' は？$\displaystyle xy=2$答え閉じる

   答え$\displaystyle -\frac{y}{x}$
6. 06y' は？$\displaystyle xy=4$答え閉じる

   答え$\displaystyle -\frac{y}{x}$

よくある質問

Q1答えに $y$ が残っていてもいい？答え閉じる

A

はい。陰関数の微分では $y'$ を $x$ と $y$ の式で表すのが普通です。曲線上の点 $(x,\ y)$ の値を代入すれば、その点での傾きが求まります。

Q2$y^2$ を微分して $2y$ としたら間違い？答え閉じる

A

$x$ で微分しているので $2y\,y'$ が正しいです。$y'$ を掛け忘れると、$y'$ について解けなくなります。